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§ 38. Die Kreisschnitte einer Fläche zweiter Ordnung. 
Demnach mufs das Ebenenpaar auf der rechten Seite die 
Form haben: 
(y V ß — a -f- z Va — 7 -f- m) (y Vß — a — z V a — y -f- n) = 0. 
Hier dürfen wir m und n als gegeben betrachten und können 
dann die Koefficienten a, b, c, e berechnen. 
In gleicher Weise können wir auch die beiden Koefficienten 
ß und / der Gleichung (l) benutzen; nur müssen wir von vorn 
herein den Wert co = 0 ausschliefsen, da dieser die gegebene 
Fläche selbst und nicht das gesuchte Ebenenpaar liefert. 
9. Wir können aber auch zunächst die Bedingungen auf 
suchen, welche zwischen den Koefficienten der beiden Ebenen 
A = 0 und B = 0 bestehen müssen, damit die Gleichung (5) 
befriedigt wird. Es sei 
A = mx-f-ny-|-pz-t- c ! 
B = m'x -f- n'y -f- p'z -(- q'. 
Dann müssen die Gleichungen bestehen; 
mm' == a — co np' -\~ n'p = 0 
nn' = ß — co pm' p'm = 0 
PP — 7 — ° } mn' -f- m n — 0. 
Damit die drei letzten Gleichungen mit einander vereinbar 
sind, mufs die Gleichung erfüllt sein; 
o p n 
p o m = 2 mnp = 0. 
n m o 
Für m = 0 mufs aber co — a, also wegen unserer Annahme 
n, p, n', p' von null verschieden sein. Somit ist auch m' = 0, 
und wir dürfen 
n = n' — Vß — a, p = — p' == Va — 7 
setzen. Dadurch sind wir wieder zu den früheren Gleichungen 
gelangt. 
10. Die Mittelpunkte der Kurven, in denen eine Fläche 
zweiter Ordnung von parallelen Ebenen geschnitten wird, liegen 
in einem Durchmesser, für den die konjugierte Durchmesserebene 
zu den gegebenen Schnittebenen parallel ist. Somit liegen auch 
die Mittelpunkte paralleler Kreise in einem Durchmesser. Wenn 
die Fläche die Gleichung hat 
ax 2 -j- ßy 2 -|- 7z 2 = 1,