§ 34. Die konfokalen Kegel zweiter Ordnung. 
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§ 34. 
Die konfokalen Kegel zweiter Ordnung. 
1. Die Hesseschen Ebenenkoordinaten, welche wir bisher mit 
Ui, u 2 , u s , u 4 bezeichnet haben, sollen in den folgenden Unter 
suchungen mit u, v, w, t bezeichnet werden, so dafs für jede 
reelle Ebene die Beziehung besteht: u 2 -f- v 2 -J- w 2 = 1, und der 
unendlichferne Kugelkreis die Gleichung hat: u 2 -f- v 2 -j- w 2 = 0. 
Hiernach stellt die Verbindung der Gleichungen: 
(1) t = 0, au 2 -J-ßv 2 -E/w 2 =0 * 
einen Kegel dar, der den Anfangspunkt der Koordinaten zum 
Scheitel hat. Für a — ß — y führen diese beiden Gleichungen : 
(2) t = 0, u 2 -J- v 2 -E w t2 = 0 
aut den Tangentialkegel, der vom Anfangspunkte aus an den 
unendlichfernen Kugelkreis gelegt werden kann. Jeder Kegel, 
welcher für irgend einen Wert von z durch die Gleichungen dar 
gestellt wird: 
(3) t — 0, (a — t) u 2 —E (ß — t) v 2 -E (/ — r) w 2 = 0, 
wird als ein mit dem Kegel (1) konfokaler Kegel bezeichnet. 
Demnach heifsen zwei konzentrische Kegel konfokal, wenn der 
durch sie bestimmten Schar der vom gemeinschaftlichen Scheitel 
nach dem unendlichfernen Kugelkreise führende Kegel angehört, 
oder mit andern Worten, wenn ihre gemeinsamen Tangential 
ebenen auch den unendlichfernen Kugelkreis berühren. 
Die Behandlung des Falles, dafs zwei der Koefficienten a, ß, 
y einander gleich sind, wollen wir dem Leser überlassen; wir 
setzen daher in den folgenden Entwicklungen voraus, dafs 
« > ß > / 
sein soll. 
Sowohl für z ~^> a wie für t</ stellt die Gleichung (3) 
einen imaginären Kegel, dagegen für a E> t E> y einen reellen 
Kegel dar. Für a x ß liegt die x-Axe und für ß>r >y 
liegt die z-Axe im Innern des Kegels. 
Drei Kegel der Schar arten in Geradenpaare aus, nämlich 
diejenigen, für welche z einen der Werte a, ß, y erhält; es sind dies; 
t = 0, (ß — a) v 2 ~E (y — «) w 2 = 0, 
(4) t = 0, (« — ß) u 2 -}- (7 — ß) w 2 = 0, 
t = 0, (a — 7) u 2 -E (ß — 7) w 2 = 0.