§ 3. Die Geraden und die Ebenen des Raumes. 
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2* 
fier Ebenen 
q 3 , q 4 die 
e nach auf 
entrechten 
von sech- 
3 von den 
. 3 , A 4 auf 
ese Senk- 
ti. Ebenso 
;ne II' die 
. . r 34 und 
Hiernach 
Übungen: 
1) Von einem Punkte sind die Senkrechten (p 4 ' . . . p 4 '), von 
einem zweiten die Senkrechten (pj 7 , . . p 4 ") auf die Ebenen des 
Koordinatentetraeders gefällt; wie grofs sind die Senkrechten, 
welche von der Mitte ihrer Verbindungsstrecke auf dieselben 
Ebenen gefällt werden können? 
2) Welche Werte haben die Senkrechten auf die Koordinaten 
ebenen für folgende Punkte: 
a) für die Mitten M 12 , M 18 . . . M 34 der sechs Kanten 0i0 2 , 
o,o 3 ... o 3 o 4 ? 
b) für den Punkt, in welchem die Verbindungsstrecke der 
Punkte M 34 und O a nach dem Verhältnisse 2 : 1 geteilt wird? 
c) für den Schwerpunkt 1h des Dreiecks 0 2 0 3 0 4 ? 
d) für den Punkt S, in welchem die Verbindungsstrecke des 
Eckpunktes Cfi mit dem Schwerpunkt T 4 des Dreiecks 0 2 0 3 0 4 
so geteilt wird, dafs 0 4 S = 3STj ist? 
e) für den Punkt, in welchem die Verbindungsstrecke von 
0 2 mit dem Schwerpunkte des Dreiecks 0i0 3 0 4 nach dem 
Verhältnis 3 : 1 geteilt wird? 
f) für die Mitte der Verbindungsstrecke M 12 M 34 (Üb. a)? 
g) für die Mitte der Strecke M 13 M 24 ? 
h) Welche Lehrsätze ergeben sich aus den in d) — g) ge 
fundenen Werten? 
3) Zu dem Tetraeder 0 1 0 2 0 3 0 4 nehme man ein Tetraeder 
A 1 A 2 A 3 A 4 hinzu. Von A t seien auf die Seiten des ersten 
Tetraeders die Senkrechten pL . . . p 4 ', von A 3 die Senkrechten 
Pi' . . . p 4 ", von A 3 desgleichen p/'. . . p 4 '" und von A 4 endlich 
Pi""...p 4 "" gefällt. Jetzt bestimme man diejenigen Punkte, 
welche für das Tetraeder A 1 A 2 A 3 A 4 den in 2) a)—g) ange 
gebenen Punkten entsprechen, und gebe die Gröfse der Senk 
rechten an, welche von diesen Punkten auf die Ebenen des 
Tetraeders C^OgOgCü gefällt werden können. 
4) Welche Beziehung findet statt zwischen den Senkrechten 
Pu P25 P 3 > P 4 > welche von einem beliebigen Punkte 
a) der Halbierungsebene des von den Ebenen CüOgCü und 
0 2 0 3 0 4 gebildeten Keiles, 
b) der Halbierungslinie des Nebenkeiles von (0 1 0 3 0 4 , 
o 3 o 3 o 4 ),