§ 34. Die konfokalen Kegel zweiter Ordnung.
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Indem wir wieder die Polare seines Brennpunktes als die
zugehörige Direktrix bezeichnen, können wir die Sätze aufstellen:
Der Pol eines jeden durch einen Brennpunkt gehenden Haupt-
kreises liegt im Schnittpunkt der Direktrix mit der Senkrechten,
welche im Brennpunkte auf dem gegebenen Hauptkreise errichtet
wird.
Die auf einer Tangente von ihrem Berührungspunkte und
dem Schnitt mit einer Direktrix begrenzte Strecke erscheint von
dem zugehörigen Brennpunkte aus unter einem rechten Winkel.
9. Wenn wir unserer Untersuchung ein specielles Koordi
natensystem zu Grunde gelegt haben, so thut das der Allgemein
heit der Resultate keinen Abbruch. Denn jeder Kegel kann, indem
er auf seine Axen bezogen wird, durch die Gleichungen (1) dar
gestellt werden; die Gleichung (2) giebt aber bei jeder Lage der
(rechtwinkligen) Axen den vom Anfangspunkte nach dem unend
lichfernen Kugelkreise gelegten Kegel. Unsere Resultate gelten
also für jede Schar konzentrischer Kegel, welcher der zum un
endlichfernen Kugelkreise führende Kegel angehört.
Übungen:
1) Auf welcher Ebene liegen die reellen Brennstrahlen des
Kegels
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^+h=^ füra > b?
2) a) Man untersuche die Schar konfokaler Cylinder, indem
man die durchgeführten analytischen Entwicklungen in geeigneter
Weise umändert. Zu jedem der gefundenen Resultate gebe man
den entsprechenden Satz an.
b) Umgekehrt übertrage man die für konfokale Kegelschnitte
geltenden Sätze rein geometrisch auf Cylinder, indem man jeden
Punkt der Ebene durch die in ihm auf der Ebene errichtete Senk
rechte ersetzt.
3) a) Eür jeden (eigentlichen) Kegel zweiter Ordnung ist die
Summe oder die Differenz der Winkel konstant, welche die beiden
Brennstrahlen mit einer seiner Erzeugenden einschliefsen,
(Man benutze die beiden letzten in 6. angegebenen Sätze,
indem man noch zu dem einen Brennstrahle den Gegenstrahl in
Bezug auf die eine, und zu dem andern Brennstrahle den Gegen
strahl in Bezug auf die andere Tangentialebene konstruiert.)
