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§ 34. Die konfokalen Kegel zweiter Ordnung.
b) Für jeden Kegel zweiter Ordnung ist je nach der auf den
Brennstrahlen gewählten Richtung die Summe oder die Differenz
der Winkel konstant, welche die Kanten mit den Brennstrahlen
einschliefsen.
(Wenn die Summe der Winkel (fa) und (f'a) konstant ist,
wo f und f zwei Halbgeraden auf den Brennstrahlen sind und a
eine beliebige Erzeugende ist, so kann man f durch die dem
selben Brennstrahle angehörende entgegengesetzte Halbgerade f t
ersetzen; dann ist (f'a) + (f x a) = jr, also ist auch (fa) —(f x a)
konstant.)
4) a) Die Polare zur Ebene (u, v, w, 0) in Bezug auf den
Kegel (2), d. i. die auf dieser Ebene im Scheitel errichtete Senk
rechte, hat rechtwinklige Koordinaten (x, y, z), die sich wie
u : v : w verhalten. Demnach hat derjenige Kegel, dessen Erzeu
gende je auf den Tangentialebenen des Kegels (1) senkrecht stehen,
der Reciprokalkegel, die Gleichung:
ax 2 -f- ßy 2 yz 2 =■ 0 oder -—h “tt + — — 0, t = 0.
J a ß y
b) Die Brennstrahlen eines Kegels stehen auf den Kreis
schnitten des Reciprokalkegels senkrecht.
5) Der in 4) eingeführte Reciprokalkegel ermöglicht es, zu
jedem Satze über Brennstrahlen einen entsprechenden Satz über
Kreisschnitte anzugeben.
a) Die Geraden, in denen eine Berührungsebene eines Kegels
von den beiden durch seinen Scheitel gehenden Kreisebenen ge
schnitten wird, bilden mit dem Berührungsstrahle der Ebene gleiche
Winkel.
b) Sind a und b zwei Erzeugende des Kegels und c und d
die Geraden, in denen ihre Verbindungsebene die Kreisebenen
schneidet, so sind die Winkel (ac) und (bd) einander gleich.
c) Die Summe der Winkel, welche eine Berührungsebene
mit den -Kreisebenen bildet, ist konstant.
6) Zu den Sätzen über die Brennpunkte eines sphärischen
Kegelschnittes fügen wir die folgenden hinzu:
a) Der sphärische Kegelschnitt hat vier Brennpunkte, welche
paarweise im Innern eines der beiden Zweige liegen. Für zwei
Brennpunkte, welche im Innern desselben Zweiges liegen, ist die
Summe der sphärischen Entfernungen für alle Punkte je eines
