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Senk- 
Ps, 
Dn je 
1, 2, 
§ 4. Die Senkrechten auf eine Ebene. 
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sechs Punkte N 12 , N, 3 , N 14 , N 23 , N 24 , N 34 auf die Ebenen 
des Tetraeders gefällt werden können. 
b) Man zeige, dafs diese sechs Punkte in der Ebene 
Pi + Pa + ps + p4 = 0 
liegen. 
c) Man leite hieraus einen Lehrsatz her. 
Die von den Ecken des Tetraeders auf eine Ebene 
gefällten Senkrechten. 
1. Wenn eine Ebene in das Innere des Tetraeders 0,0 2 0 3 0 4 
eintritt, so müssen auch einige von den vier begrenzenden Dreiecken 
0 2 0 3 0 4 , 0,0 3 0 4 , 0,0 2 0 4 , 0 4 0 2 0 3 getroffen werden. Wird 
etwa das Dreieck 0,0 2 0 3 durch die Ebene zerlegt, so werden, 
abgesehen von dem Falle, dafs die Ebene durch einen Eckpunkt 
hindurchgeht, zwei der Kanten 0 2 0 3 , 0 3 0, und0 1 0 2 zwischen 
ihren Endpunkten geschnitten. Es seien dies die Kanten 0 4 0 2 
und 0,0 3 . Dann tritt die Ebene auch in die Dreiecke 0,0 2 0 4 
und 0,0 3 0 4 ein; sie schneidet daher je noch eine Kante in 
jedem dieser beiden Dreiecke. Das kann einmal die gemein 
schaftliche Kante 0 4 0 4 sein, und dann giebt es keine weitere 
Kante, welche von der Ebene getroffen wird. Es können aber 
auch noch die Strecken 0 2 0 4 und 0 3 0 4 zwischen ihren Schnitt 
punkten geschnitten werden; diese bilden mit den beiden Kanten 
0 4 0 2 und 0 4 0 3 zwei Paare von Gegenkanten. Daraus ergiebt 
sich der Satz: 
Wenn eine Ebene ein Tetraeder zerlegt, ohne einen 
seiner Eckpunkte zu enthalten, so geht sie entweder 
durch drei von demselben Eckpunkte ausgehende Kan 
ten oder durch zwei Paare von Gegenkanten hindurch. 
Für die Lage einer Ebene zu dem Tetraeder 0,0 2 0 3 0 4 
ergeben sich also folgende acht Möglichkeiten: 
I. Die Ebene liegt aufserhalb des Tetraeders, 
an 
II. 
sie 
trifft 
die 
drei 
Kanten 
o,o 2 , 
0,0,, 
0,0 
ge- 
III. 
» 
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o 2 o 4 , 
o 2 o 3 , 
o 2 o 
IV. 
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o 8 o„ 
o 3 o 2 , 
o 3 o 
der 
V. 
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o 4 o„ 
o 4 o 2 , 
o 4 o