§ 4. Die Senkrechten auf eine Ebene. 
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3, 4, 7 in gerader Linie liegen, so gilt nach I § 3, 1 (S. 13) die 
Gleichung: 
r 7 = (1 —d) r 3 — «r 4 . 
Es gehören auch die Punkte 6, 7, 2 und 5, 6, 1 je einer 
geraden Linie an; somit mufs auch sein: 
Ls = (1 -f- ß) r 7 — ßr 2 , r5 — (1 -f- y) r 6 yr x . 
Daraus ergiebt sich eine Beziehung zwischen den Senkrechten 
r 5 , r l3 r 2 , r 3 , r 4 , nämlich; 
r 5 = — yr 4 — (1 + /) ß r 2 + (1 + «) (1 + ß) (1 + /) r 3 
« (1 + ß) (1 + y) r 4- 
Die Koefficienten hangen nur von der gegenseitigen Lage 
der fünf Punkte, nicht aber von der Ebene E ab. Indem wir 
jetzt die vom Punkte 5 auf die Ebene E gefällte Senkrechte mit 
s bezeichnen, gilt die Gleichung: 
(7) s = «ir t -f- ct 2 r 2 -f- ct 3 r 3 -f- a 4 r 4 . 
7. Es ist nicht schwer, die Bedeutung der Koefficienten 
«i . . . a 4 aus den eben benutzten Gröfsen a, ß, y herzuleiten. 
Indessen ziehen wir es vor, sie dadurch zu finden, dafs wir der 
Ebene E specielle Lagen geben. Fällt diese Ebene mit der Ebene 
0 2 0 3 0 4 zusammen, so wird s gleich der vom Punkte 5 auf 
diese Ebene gefällten Senkrechten p 4 ; ferner wird rj — h x , 
r 2 = r 3 = r 4 = 0. Somit folgt p x — «i hx. In entsprechender 
Weise ergiebt sich p 2 = a 2 h 2 , p 3 = a 3 h 3 , p 4 = a 4 h 4 , wo p l5 p 2 , 
p 3 , p 4 die vom Punkte 5 auf die Koordinatenebenen gefällten 
Senkrechten sind. Die Gleichung (7) geht demnach in die fol 
gende über: 
(8) 
, __ Pi r I P 2 r 1 P 3 r P 4 r 
s -h; ri + h 2 r2 + h 3 r3 + ir 4 r4 - 
Diese Gleichung ist identisch mit der in § 3, 7 gefundenen 
Gleichung; beide stellen den Abstand des Punktes (pj . . . p 4 ) von 
der Ebene (r t , . . r 4 ) dar. 
8. Soll die Ebene E durch den Punkt (pi . . . p 4 ) gehen, so 
mufs in den Gleichungen (7) und (8j s = 0 sein. Die Gleichung 
eines jeden Punktes, d. h. die Bedingung dafür, dafs eine Ebene 
durch einen gegebenen Punkt geht, lautet also: 
(9) ajTx -}- « 2 r 2 -(- a 3 r 3 -|- a 4 r 4 — 0