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§ 4. Die Senkrechten auf eine Ebene. 
wo p 4 , p 2 , p 3 , p 4 die Senkrechten sind, welche von dem ge 
gebenen Punkte auf die Koordinatenebenen gefällt sind. 
Zugleich drückt aber auch die Gleichung (10) die Bedingung 
dafür aus, dafs der Punkt (p) und die Ebene (r) zusammenliegen, 
also der Punkt in der Ebene liegt, die Ebene durch den Punkt geht. 
9. Um von dem Tetraeder 0 1 0 2 0 3 0 4 zu einem andern 
Koordinaten-Tetraeder überzugehen, ersetzen wir die vier Punkte 
0 15 0 2 , 0 3 , 0 4 durch vier andere Punkte Q 2 , Q 3 , Q 4 
und nennen s 4 , s 2 , s 3 , s 4 die Senkrechten, welche von diesen 
vier Punkten auf die Ebene (r 4 , r 2 , r 3 , r 4 ) gefällt werden. Wenn 
wir also von dem früheren zu dem neuen Koordinatensystem 
übergehen wollen, so müssen wir die von den Punkten Qi ... Q 4 
auf irgend eine Ebene gefällten Senkrechten s x . . . s 4 durch die 
Senkrechten r! . . . r 4 ausdrücken, welche auf dieselbe Ebene von 
den Punkten O x . . . 0 4 gefällt worden sind. Die Gleichungen 
(7) und (8) geben uns aber sofort die Lösung dieser Aufgabe; 
es ist nämlich 
S 1 === a \ 2^ 2 + «13 r 3 ^ 1 4 G 
(11) S 2 “ a 2 I r i H - a 2 2 r 2 “t“ a 2 3 r 3 ~1~ a 2 4 r 4 
S 3 = ß 3 lG ~\~ a % 2*2 + tt 33 r 3 _ t _CC 34 r 4 
s 4 = cc 4 4 r j —E cc 4 2 r 2 -E ct 4 3 r 3 -E cc 4 4 r 4 . 
Um die Bedeutung der sechzehn Koefficienten angeben zu 
können, nennen wir p 11? p 12 , p 13 , p 14 die Senkrechten, welche 
vom Punkte Qi auf die Ebenen des ersten Koordinatensystems 
gefällt werden können. Ebenso sollen P 2 i • • • P24 ^ vom 
Punkte Q 2 auf die Ebenen des Tetraeders 0 4 0 2 0 3 0 4 gefällten 
Senkrechten sein. Die gleiche Bedeutung sollen p 31 . . . p 34 für 
den Punkt Q ;} und p 41 . . . p 44 für den Punkt Q 4 haben. Dann 
mufs sein: 
a 
11 
En 
V 
■13 
El3 a = V_AA 
h ’ 14 h 
n 3 u 4 
Übungen: 
1) Für welche Ebene ist 
a ) r i = r 2 =r 3 = — r 4. 
b ) r i = r 2 = - r 3 === r 43 
4 3 
P44 
h 4 '