§ 5. Die allgemeinsten Tetraeder-Koordinaten. 
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Indem man jetzt 
ao 
setzt, kann ihre Gleichung in der Form geschrieben werden: 
A -j- ¡iB — 0. 
Nun ist 
X ao ao o o . 
ft ßg ßg g g 
der letzte Quotient stellt aber das Doppelverhältnis der vier Ebenen 
dar. Somit ist das Doppelverhältnis der vier Ebenen 
A = 0, B = 0, A -f- XB = 0, A -f /¿B = 0 
gleich dem Bruch X : fi. 
Speciell liegen die beiden Ebenen A-|-xB = 0 und A — äB = 0 
harmonisch zu den Ebenen A = 0, B = 0. 
5. In ähnlicher Weise können wir mit den Gleichungen (9) 
verfahren. Es seien 
a,x t + a 2 x,, + a 3 x 3 4 ^4X4 = 0? bi x i 4 ba x 2 4 bs x 3 4 b.ix 4 = 0, 
Cjx, 4 c^Xo 4" C3X3 4 C4X4 = 0 
die Gleichungen dreier Ebenen; diese Gleichungen sollen kurz in 
der Form 
A — 0, B = 0, C = 0 
geschrieben werden. Sind (u, ... u 4 '), (u x . . . u 4 // ), (u t w . . . u 4 '") 
die Koordinaten dieser Ebenen, so mufs sein: 
a 1 =«Ui', a 2 — «u./, a 3 =au 3 ', a 4 =au4', 
bj = ßuß', b 2 = ßu 2 ", b 3 = ßu z ", b 4 = ßUi", 
Ci =yu l "', C ä =/u 2 '", c 3 = /U 3 , C4==/U 4 '". 
Jetzt sei (x! . . . x t ) ein Punkt der Ebene (4 . . . u 4 ). Dann 
verschwindet die linke Seite, nachdem man die Gleichungen (11) 
der Reihe nach mit X! . . . x 4 multipliziert und zu einander addiert 
hat. Die rechte Seite geht aber nach einer einfachen Umformung 
über in die Form vA 4 4 öC. Daraus folgt der Satz: 
Die Gleichung einer jeden Ebene, welche durch den 
Schnittpunkt der drei Ebenen: 
A = 0, B = 0, C = 0 
hindurchgeht, läfst sich in der Form schreiben: 
vA 4 pB 4 = 0. 
6. Dieselbe Methode führt in ihrer Anwendung auf die Glei 
chungen (5) zu folgendem Ergebnisse. Sind A — 0 und B = 0 
Kalling, Lehrbuch der analyt. Geometrie. II. 3