§ 5. Die allgemeinsten Tetraeder-Koordinaten. 35 
Wenn nämlich ist; 
aA -J- b 
cA -f- d’ 
wo a, b, c, d vier konstante Gröfsen sind, so wird 
_(ad — bc) (A 3 — A,) (ad—bc) (A 2 — A 3 ) 
^ (cA) -J- d) (cA 3 -(- d) 5 ^ 3 (cA 2 -p d) ( C A 3 -p d)’ 
also ist 
Hs — H' . ¡^4 /ö A 3 — Aj _ A4 — Ai 
H* //3 // 2 //4 A 2 — A3 A 2 — A4 
Somit haben je vier Punkte der einen Punktreihe dasselbe 
Doppelverhältnis wie die entsprechenden Punkte der andern. 
In derselben Weise können wir zwei Ebenenbüschel auf ein 
ander oder eine Punktreihe auf einen Ebenenbüschel beziehen. 
8. Beim Übergange zu einem neuen Koordinatensysteme 
können wir nicht nur die Punkte O x , 0 2 , O3, O4 durch irgend 
vier andere, nicht in einer Ebene liegende Punkte Q 1} Q 2 , Q 3 , 
Q t ersetzen, sondern auch an Stelle der vier Koefficienten (j x , 
Hi-> Hi irgend vier andere Konstante wählen, von denen eben 
falls keine verschwinden darf. Dann geht aus den Gleichungen 
(13) § 3, U (S. 18) unmittelbar hervor, dafs auch die neuen 
Koordinaten y 1} y 2 , y 3 , y 4 homogen lineare Funktionen von x,, 
x 2 , x 3 , x 4 sind; es bestehen also die Gleichungen: 
7l = b ll X l + b 12 X 2 + b 18 X 3 + b 14 X 4 
(12) y 2 == b 2 1 X 1 ~Ü b 2 2 X 2 ~E b 2 3 X 3 ~E b 2 4 X 4 
y 3 ~ b 3 1 X 1 “E b 3 2 X 2 ~E b 3 3 X 3 ~E b 3 4 X 4 
y4 =b 4l X l ~t~ b 4 2 X 2 + b 4 3 X 3 ~E b 4 4 X 4‘ 
Wenn hier y x = 0 wird, so mufs auch die rechte Seite der 
ersten Gleichung verschwinden; daher stellt die Gleichung 
b 11 X 1 —p b 1 2 X 2 —F~ b 1 3 X 3 “E b 14 X 4 — 0 
die Ebene Q 2 Q 3 Q 4 dar. Die Koefficienten b 1]L , b 12 , b 13 , b 14 
hängen daher zunächst von der Wahl der Ebene Q 2 Q 3 Q 4 ab; 
nachdem aber diese Ebene gewählt ist, kann man einen gemein 
schaftlichen Faktor noch willkürlich wählen. Entsprechendes gilt 
für die andern Koefficienten; sie dürfen daher im wesentlichen 
willkürlich angenommen werden, nur dürfen die vier Ebenen 
yi =0, y 2 = 0, y 3 = 0, y 4 = 0 nicht durch denselben Punkt 
hindurchgehen; es darf daher kein Wertsystem x x . . . x 4 geben.