§ 6. Die uneigentlichen Gebilde des Raumes. 
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3. Jetzt gilt der Satz allgemein, dafs eine Gerade mit einer 
Ebene, in der sie nicht ganz enthalten ist, einen Punkt gemein 
hat. Man lege nämlich durch die Gerade und einen Punkt der 
gegebenen Ebene eine zweite Ebene; die Schnittlinie der beiden 
Ebenen liegt mit der gegebenen Geraden in einer Ebene, hat also 
einen Punkt mit ihr gemeinschaftlich, und dieser Punkt gehört 
sowohl der gegebenen Geraden wie der gegebenen Ebene an. 
Daraus folgt, dafs drei Ebenen, welche keine gerade Linie 
gemeinschaftlich haben, sich in einem eigentlichen oder uneigent 
lichen Punkte schneiden. Die drei Ebenen können einander nicht 
parallel sein, weil sie sonst dieselbe unendlichferne Gerade gemein 
schaftlich hätten; daher müssen sich mindestens zwei unter ihnen 
in einer Geraden schneiden. Der Punkt, den die Schnittlinie von 
zwei Ebenen mit der dritten Ebene gemein hat, gehört allen drei 
Ebenen an. 
4. Um den eigentlichen Punkt P mit dem uneigentlichen 
Punkte einer geraden Linie zu verbinden, hat man durch den 
Punkt P die Parallele zu AB zu ziehen. Sollen aber die beiden 
unendlichfernen Punkte der Geraden AB und CD, die natürlich 
nicht parallel sein dürfen, durch eine gerade Linie verbunden 
werden, so konstruiert man eine Ebene, die zu den beiden Geraden 
parallel ist; die unendlichferne Gerade dieser Ebene ist die ver 
langte Linie. 
5. Durch eine eigentliche Gerade und einen unendlichfernen 
Punkt, der der Geraden nicht angehört, läfst sich eine Ebene 
legen; es ist die Ebene, welche durch die gegebene Gerade 
parallel zu einer geraden Linie gelegt werden kann, in der der 
unendlichferne Punkt liegt. 
Auch durch eine unendlichferne Gerade und einen eigent 
lichen Punkt kann man eine Ebene legen. Zur Bestimmung der 
uneigentlichen Geraden mufs eine Ebene gegeben sein, der die 
Gerade angehört. Man hat also durch den Punkt eine Ebene zu 
legen, welche zu der gegebenen Ebene parallel ist. 
Soll aber eine Ebene durch eine unendlichferne Gerade und 
einen ihr nicht angehörenden uneigentlichen Punkt gehen, so 
kann auf ihr kein eigentlicher Punkt liegen, da sie sonst nur die 
Punkte einer einzigen uneigentlichen Geraden enthielte. Eine 
solche Ebene enthält daher nur uneigentliche Punkte und uneigent