5 6. Die uneigentlichen Gebilde des Raumes. 
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Ebenen einen eigentlichen Punkt gemein haben, sich jedesmal das 
Innere eines Dreikants mit dem seines Gegendreikants zu einem 
einzigen Raumteile vereinigt. 
7. Vier Ebenen, die nicht durch denselben Punkt gehen, 
zerlegen den Raum in acht Teile. Wir begnügen uns damit, den 
Beweis in dem Falle durchzuführen, dafs je drei der gegebenen 
Ebenen einen eigentlichen Punkt gemeinschaftlich haben. Es seien 
dies die Punkte Oj, CE, 0 3 , 0 4 . Die Gerade ChCV wird durch 
die Punkte O x und 0 2 in eine endliche und eine unendliche 
Strecke zerlegt; die erstere bezeichnen wir mit 0i0 2 , die letz 
tere mit 0.0 2 . Entsprechende Bezeichnungen führen wir für 
jede Kante OiOx ein, wo wir unter t, x zwei verschiedene 
Marken der Reihe 1, 2, 3, 4 verstehen; stets soll CEO* die end 
liche, Oi O x die unendliche Strecke sein, die in den Punkten CG 
und O* begrenzt sind. 
Nach I § 8, 9 (S. 51) ist jeder Teil, in welchen eine Ebene 
durch drei gerade Linien zerlegt wird, ein Dreieck im weiteren 
Sinne, und jedes derartige Dreieck wird, falls seine Eckpunkte 
eigentliche Punkte sind, entweder von einer oder von drei end 
lichen Strecken begrenzt. Unter (CECGOa) verstehen wir das 
endliche Dreieck mit den Eckpunkten Oi, Ox, Oa; dagegen soll 
das Dreieck (OiOzÖ;.) von der endlichen Strecke Oi O* und 
den unendlichen Strecken Ö, Ö;. und O* Oa eingeschlossen werden. 
Jetzt beweisen wir den Satz: 
Jeder Teil, in den der Raum durch vier Ebenen zerlegt wird, 
wird von vier Dreiecken begrenzt; in Bezug auf diese Dreiecke 
sind drei Fälle möglich: entweder a) sind sie alle endlich, oder 
b) eins ist endlich und die drei andern unendlich, oder c) die 
vier Dreiecke sind unendlich. 
Der erste Teil des Satzes ist eine unmittelbare Folge davon, 
dafs jeder Teil, in welchen die Ebene durch drei gerade Linien 
zerlegt wird, als Dreieck aufgefafst werden kann. Um den zweiten 
Teil zu beweisen, nehmen wir an, der Grenze gehörten zwei 
endliche Dreiecke an. Dann liegen auf der Grenze auch fünf 
endliche Strecken; da aber die Zahl der Kanten gleich sechs ist, 
so könnte höchstens eine unendliche Strecke bei der Einschliefsung 
der beiden andern Dreiecke verkommen. Das ist aber unmöglich;