§ 6. Die uneigentlichen Gebilde des Raumes, 43 
nur die Kante 0 3 0 4 sein. Der Raumteil wird also von den un 
endlichen Dreiecken (OxC^Os), (0i0 2 0 4 ), (0 3 0 4 Ö]), (0 3 0 4 Ö 2 j 
eingeschlossen. Solcher Raumteile giebt es drei, da wir das Paar 
Oj 0 2 , 0 3 0 4 durch 0j0 3 , 0 2 0 4 und durch O1O4, 0 2 0 3 er 
setzen können. 
9. Dafs die Lehre von den Doppelverhältnissen bei der Hin 
zunahme der uneigentlichen Gebilde des Raumes ungeändert bleibt, 
bedarf nach der eingehenden Besprechung der ähnlichen Be 
ziehungen für die Ebene (I 9 S. 53) keiner besondern Erläuterung. 
Wenn wir z. B. den Satz, dafs alle geraden Linien durch vier 
Ebenen eines Büschels nach demselben Doppelverhältnis geschnitten 
werden, als allgemein gültig beweisen wollen, so haben wir nur 
noch den Fall zu erledigen, dafs die Transversale einer der vier 
Ebenen parallel ist, ohne zur Kante parallel zu sein. In diesem 
Falle braucht man aber nur durch die Transversale und einen 
Punkt der Axe eine Ebene zu legen, um den Satz, dafs wir jetzt 
dasselbe Doppelverhältnis erhalten, auf den in § 9, 4 bewiesenen 
Satz zurückzuführen. 
10. Es ist noch nachzuweisen, dafs vier Ebenen, welche ein 
ander parallel sind, also dieselbe unendlichferne Kante besitzen, 
von allen sie durchschneidenden Geraden nach demselben Doppel 
verhältnisse geschnitten werden. Die Richtigkeit des Satzes folgt 
für zwei in einer Ebene liegende Transversalen auf die in I § 9, 6 
angegebene Weise. Wenn aber die Transversalen zu einander 
windschief sind, so nehme man eine dritte hinzu, welche je mit 
einer von ihnen in einer Ebene liegt, etwa der einen parallel ist 
und die andere schneidet. 
Übungen: 
1) a) Vier harmonische Ebenen, welche durch dieselbe eigent 
liche Kante hindurchgehen, werden von einer Geraden durch 
schnitten, welche zu einer dieser Ebenen parallel ist; wie liegen 
die drei eigentlichen Schnittpunkte zu einander? 
b) Die vier Ebenen werden von einer Ebene durchschnitten, 
welche zur gemeinsamen Kante, aber nicht zu einer der Ebenen 
parallel ist; wie liegen die Schnittlinien zu einander? 
c) Die vier Ebenen werden von einer Ebene geschnitten, 
welche zu einer unter ihnen parallel ist; die gegenseitige Lage 
der Schnittlinien soll angegeben werden.