44 § 7. Die Quotienten der Koordinaten als Doppelverhältnisse.
2) Man unterscheidet Strahlenbüschel mit einem eigentlichen
und einem uneigentlichen Mittelpunkte, sowie Ebenenbüschel mit
einer eigentlichen und einer uneigentlichen Geraden als Axe,
endlich Punktreihen auf einer eigentlichen und einer uneigent
lichen Geraden als Träger; man charakterisiere die einzelnen
Arten.
3) Indem man dem Raume die uneigentlichen Punkte beilegt
und ihn somit im Unendlichfernen als zusammenhängend be
trachtet, sollen die Teilungen angegeben werden, welche ent
stehen ;
a) durch drei einander parallele Ebenen,
b) durch zwei parallele und die unendlichferne Ebene,
c) durch drei Ebenen, welche sich paarweise in parallelen
Geraden schneiden,
d) durch drei sich in einem Punkte schneidende und die
unendlichferne Ebene,
e) durch vier Ebenen, welche paarweise parallel sind.
§ 7.
Die Quotienten der Koordinaten als Doppelverhältnisse.
1. Denjenigen Punkt, für den die vier Koordinaten x t , x 2 ,
x 3 , x 4 denselben Wert haben, nennen wir den Einheitspunkt
des Systems. Bezeichnen wir die von diesem Punkte auf die
Koordinatenebenen gefällten Senkrechten mit ej, e 2 , e 3 , e 4 , so
ist (nach § 5, 1) x 1 = i « 1 e I , x 2 =,M 2 e 2 , x 3 = i M 3 e 3 , x 4 = i w 4 e 4 ,
also müssen die Gleichungen bestehen;
(1) e! = fi 2 e 2 = f/ d e 3 = <t/ 4 e 4 .
Wenn für einen Punkt, von dem aus die Senkrechten p,,
p;, p 3 , p 4 auf die Koordinatenebenen gefällt sind, p, : p 4 = fi 4 : (i x
sein soll, so mufs der Punkt auf einer gewissen Ebene liegen, die
leicht gefunden werden kann, sobald man die Werte von fi y und
f/.i kennt. Demnach kann der Einheitspunkt als der (eigentliche
oder uneigentliche) Schnittpunkt der drei Ebenen ,t/j p x = ^/ 4 p 4 ,
^2P2 = i^4P4, /¿3ps — (W 4 p.i oder der Ebenen x!=x 4 , x 2 = x 4 ,
x 3 = x 4 gefunden werden. Dieser Punkt gehört auch, unabhängig
davon, ob er ein eigentlicher oder uneigentlicher Punkt ist, den
Ebenen ^p, = fi 2 p 2 , t «i p 4 — (i 3 p 3 , p 2 p 2 ==.w 3 p 3 (oder den Ebenen