Full text: Die Geometrie des Raumes (2. Teil)

44 § 7. Die Quotienten der Koordinaten als Doppelverhältnisse. 
2) Man unterscheidet Strahlenbüschel mit einem eigentlichen 
und einem uneigentlichen Mittelpunkte, sowie Ebenenbüschel mit 
einer eigentlichen und einer uneigentlichen Geraden als Axe, 
endlich Punktreihen auf einer eigentlichen und einer uneigent 
lichen Geraden als Träger; man charakterisiere die einzelnen 
Arten. 
3) Indem man dem Raume die uneigentlichen Punkte beilegt 
und ihn somit im Unendlichfernen als zusammenhängend be 
trachtet, sollen die Teilungen angegeben werden, welche ent 
stehen ; 
a) durch drei einander parallele Ebenen, 
b) durch zwei parallele und die unendlichferne Ebene, 
c) durch drei Ebenen, welche sich paarweise in parallelen 
Geraden schneiden, 
d) durch drei sich in einem Punkte schneidende und die 
unendlichferne Ebene, 
e) durch vier Ebenen, welche paarweise parallel sind. 
§ 7. 
Die Quotienten der Koordinaten als Doppelverhältnisse. 
1. Denjenigen Punkt, für den die vier Koordinaten x t , x 2 , 
x 3 , x 4 denselben Wert haben, nennen wir den Einheitspunkt 
des Systems. Bezeichnen wir die von diesem Punkte auf die 
Koordinatenebenen gefällten Senkrechten mit ej, e 2 , e 3 , e 4 , so 
ist (nach § 5, 1) x 1 = i « 1 e I , x 2 =,M 2 e 2 , x 3 = i M 3 e 3 , x 4 = i w 4 e 4 , 
also müssen die Gleichungen bestehen; 
(1) e! = fi 2 e 2 = f/ d e 3 = <t/ 4 e 4 . 
Wenn für einen Punkt, von dem aus die Senkrechten p,, 
p;, p 3 , p 4 auf die Koordinatenebenen gefällt sind, p, : p 4 = fi 4 : (i x 
sein soll, so mufs der Punkt auf einer gewissen Ebene liegen, die 
leicht gefunden werden kann, sobald man die Werte von fi y und 
f/.i kennt. Demnach kann der Einheitspunkt als der (eigentliche 
oder uneigentliche) Schnittpunkt der drei Ebenen ,t/j p x = ^/ 4 p 4 , 
^2P2 = i^4P4, /¿3ps — (W 4 p.i oder der Ebenen x!=x 4 , x 2 = x 4 , 
x 3 = x 4 gefunden werden. Dieser Punkt gehört auch, unabhängig 
davon, ob er ein eigentlicher oder uneigentlicher Punkt ist, den 
Ebenen ^p, = fi 2 p 2 , t «i p 4 — (i 3 p 3 , p 2 p 2 ==.w 3 p 3 (oder den Ebenen
	        
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