40 § 7. Die Quotienten der Koordinaten als Doppelverhältnisse. 
/7,3, Д 4 , Дз, П>4, Я34 und die Ebenen Л’, 3 , Е ы , E.> 3 , Я 24 , 
E. 4 . Dann gelten die Beziehungen: 
(3) p = (I II Л„ В.,), . . . ii = (IIIIV Я :)4 B 31 ). 
X* x 4 
Die Kante O l O x möge, wo 1, x irgend zwei Marken aus 
der Reihe 1, 2, 3, 4 sind, die Ebene /7* in einem Punkte P,* 
und die Ebene E,x in einem Punkte Е гх treiben; alsdann besteht 
die Gleichung: 
(4) Xi : X* = (O* CE ElxEix). 
4. Einheitsebene nennen wir diejenige Ebene, für welche 
die Koordinaten u,, u*, u 3 , u 4 denselben Wert haben. Diese 
Ebene hat in den Punktkoordinaten die Gleichung: 
x i + x 2 + x 3 -E x 4 — 0. 
Sie schneidet demnach die Kante 0,0* in einem Punkte: 
x 3 = x 4 — 0, x, —E x* = 0. 
Diejenige Ebene, welche durch die Kante О3О4 und den 
Einheitspunkt geht, hat nach 1. die Gleichung: 
X j — x* = 0. 
Nun liegen (nach § 5, 4} die vier Ebenen 
Xi = 0, x* =0, x, + x* = 0, x x — x* = 0 
harmonisch; sie schneiden also auch die Kante 0,0* in vier 
harmonischen Punkten. Den Schnittpunkt mit der Ebene x x —x 2 =0 
haben wir soeben schon mit E,* bezeichnet; wir nennen den 
Schnittpunkt mit der Ebene x t + x 2 = 0 (und demnach auch mit 
der Ebene X! + x* -f- x 3 x 4 == 0) E 12 '. Dann liegen die Punkte 
E 12 und Ei*' zu den Punkten O, und O* harmonisch. Demnach 
schneidet die Einheitsebene jede Kante CE in einem Punkte 
E<*', der in Bezug auf die Punkte CE und zu dem vorhin 
eingeführten Punkte E** harmonisch liegt. 
Umgekehrt können wir auf der Kante CEO* den zu E 12 
harmonischen Punkt E 12 ', auf О1О3 den zu E 13 harmonischen 
Punkt E 13 ' und auf den zu E 14 harmonischen Punkt E 14 ’ 
bestimmen. Die durch diese drei Punkte gelegte Ebene hat die 
Gleichung: 
X 1 “P x 2 ~h x 3 “h x 4 — P? 
wie man auf folgende Weise sieht: 
Für x 3 =x 4 =0 mufs ihre Gleichung übergehen in Xi-Ex-j^O, 
also müssen Xj und x* denselben Koefficienten haben; da die