§ 8. Specielle Koordinatensysteme. 
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gelegte Ebene die Axe C) 4 X in E 1? die parallel zu 0 4 X gelegte 
Ebene die 0 4 Y in E 2 , und die parallel zu 0 4 XY gelegte Ebene 
die 0 4 Z in E 3 , so ist G) 4 E 4 = 0 4 E 2 = 0 4 E 3 = 1. 
Um die Koordinaten eines Punktes P anzugeben, lege man 
durch ihn die Ebenen, welche zu den Koordinatenebenen parallel 
sind, und bestimme jedesmal den Schnittpunkt mit der gegen 
überliegenden Axe; die Ebene parallel zu 0 4 YZ möge 0 4 X in 
P,, die Ebene parallel zu 0 4 ZX möge 0 4 Y in P 2 und die Ebene 
parallel zu 0 4 XY möge 0 4 Z in P 3 schneiden. Nennen wir xj, 
x 2 , x 3 , x 4 die Koordinaten des Punktes P, welche unserer Wahl 
des Tetraeders und des Einheitspunktes entsprechen, so ist 
Xi : x 4 = (0 2 0 3 : 0 4 0 4 PE). 
Nun ist 0 2 0 3 die unendlichferne Gerade der Ebene 0 4 YZ; 
daher sind die Ebenen 0 2 0 3 P und 0 2 0 3 E zur Ebene 0 4 YZ 
parallel, während die Ebene 0 2 0 3 0j die unendlichferne Ebene 
ist. Somit ist: 
x i /fi n d r \ O4P1 0 4 Ej 0 4 P. PiO, 
x 4 _ (U.UT'h!) - p i0i • EiQi - : EiQi 
oder 
X! : x 4 = 0 4 Pi, 
weil O t der unendlichferne Punkt der Gerade 0 4 X und 
0 4 E, = 1 ist. 
Setzen wir 0 4 Pj = x, 0 4 P 2 = y, C) 4 P 3 = z, so ist 
Xj : x 4 = x, x 2 : x 4 — y, x 3 : x 4 = z. 
Hiernach sind die Gartesischen Koordinaten ein specieller 
Fall der Tetraeder-Koordinaten; man gelangt zu ihnen, indem 
man drei Eckpunkte des Tetraeders in der unendlichfernen Ebene 
annimmt und den Einheitspunkt in einer bestimmten Weise wählt. 
Statt die Gröfsen x, y, z durch die Abschnitte auf den Axen zu 
bestimmen, kann man sie auch gleich den Strecken setzen, welche 
vom Punkte aus parallel zu je einer Axe bis zur gegenüber 
liegenden Koordinatenebene gezogen sind. 
5. Die Gröfsen x, y, z werden für unendlichferne Punkte 
selbst unendlich; dagegen können ihre Quotienten, welche mit 
den Brüchen : x. 4 : x 3 identisch sind, durch endliche Gröfsen 
dargestellt werden. Die Verhältnisse der Gröfsen x, y, z be 
stimmen eine gerade Linie, welche durch den Punkt 0 4 geht. 
Demnach kommt die Festsetzung der Verhältnisse x : y : z in