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§ 8. Specielle Koordinatensysteme. 
Verbindung mit der Forderung x 4 = 0 darauf hinaus, den un 
endlichfernen Punkt einer durch 0 4 gehenden Geraden zu be 
stimmen. Da man jeden unendlichfernen Punkt mit dem Punkte 
0 4 durch eine gerade Linie verbinden kann, so gelangt man durch 
die angegebene Festsetzung zu allen unendlichfernen Punkten. 
6. Bei der getroffenen Wahl des Einheitspunktes schneidet 
die Einheitsebene die drei Axen C) 4 X, 0 4 Y, 0 4 Z in drei Punkten 
E 1} E 2 , E 3 , für welche 0 4 £' 1 = O i E 2 = O 4 £’ 3 — — 1 ist. Wenn 
jetzt die zu bestimmende Ebene dieselben Axen der Reihe nach 
in Ei, E2, E 3 schneidet, so ist 
üi_, nnr , . W . Oi Ei _ E, 0 4 . OA, 
u 4 “ r.o, ■ e.o 4 - r 1 o l ■ o,r, 
Dieser Bruch hat aber den Wert — 1 : O i E 1 , weil der Punkt 
O. der unendlichferne Punkt der Geraden 0 4 X und die Strecke 
O i E l = — 1 ist. 
Setzen wir u x : u 4 = — u, u 2 : u 4 = — v, u 3 : u 4 == — w, 
so stellen die Gröfsen u, v, w 7 die reciproken Strecken dar, welche 
auf den Axen durch die Ebene vom Anfangspunkte aus abge 
schnitten werden. In diesen Gröfsen, den Plückerschen 
Koordinaten einer Ebene, ist die Gleichung eines jeden 
Punktes linear. 
7. Die angegebene Bestimmung einer Ebene versagt für jede 
Ebene, welche durch den Anfangspunkt 0 4 geht. Für eine solche 
Ebene mufs man u 4 == Ü setzen, und dann genügen die Verhält 
nisse u 4 : u 2 : u 3 , welche wiederum durch endliche Gröfsen aus 
gedrückt werden können, um die Ebene eindeutig zu bestimmen. 
So ist der Bruch u 4 : u 2 für jedes Koordinatensystem gleich dem 
Doppelverhältnisse, nach welchem die Strecke 0 4 0 2 durch ihre 
Schnittpunkte mit der zu bestimmenden und der Einheitsebene 
geteilt wird. Da in unserm Falle die Kante 0 4 0 2 die unendlich 
ferne Gerade der Ebene 0 4 XY ist, so ersetzt man dies Doppel 
verhältnis durch das von vier Geraden, welche von einem belie 
bigen Punkte aus nach den vier Punkten der Kante gezogen 
werden können. Zu diesem Punkte wählen wir den Punkt 0 4 . 
Wir nehmen an, die zu bestimmende Ebene gehe durch 0 4 hin 
durch und schneide die Ebene 0 4 XY in einer Geraden 0 4 M 3 , 
die Ebene 0 4 ZX in 0 4 M 2 und die Ebene 0 4 YZ in 0 4 Mj. Zu 
der Schnittlinie der Einheitsebene mit der Ebene 0 4 YZ werde