Die beiden Osculationssysteme und ihr Zusammenhang. 29. 75 
Systems osculiren und umgekehrt; je drei Strahlen 
des ersten Systems liegen mit drei Strahlen des 
zweiten in einer Kegelfläche K 0 ] insbesondere giebt 
es 81 Kegelflächen 7C 2 , welche in einer Kante des er 
sten und einer Kante des zweiten Systems osculiren. 
Nach dem oben angegebenen Satze haben die drei Elemente 
der Flächeniuvolutiou neunter Ordnung, welche durch die Ver 
bindung dreier Punkte ABC einer Ebene durch S mit den neun 
Punkten des ersten Osculationssystems entstehen, die Eigen 
schaft, dass jede Ebene, welche die projicirenden Strahlen der 
beiden ersten Gruppen enthält, auch den der dritten Gruppe auf- 
uimmt. Verbindet man also jetzt die beiden Osculationssysteme, 
so entsteht ein einziges Element der Flächeninvolution neunter 
Ordnung, d. h. die obigen drei Gruppen sind unendlich benach 
bart, die drei projicirenden Strahlengruppen ebenfalls, und da 
je drei unendlich benachbarte in einer Ebene liegen müssen, so 
ist das System der neun projicirenden Strahlen dieser Gruppe 
das der neun Wendestrahlen des Kegels K 3 , d. h,: 
Die Verbindungsebenen der neun Strahlen des einen 
Osculationssystems mit denen des zweiten schneiden 
sich zu neun in dem Systeme der neun Wendegeradeu 
des projicirenden Kegels der Curve. 
Es folgt daraus, dass die Verbindungslinien je zwei solcher 
Punktegruppen 11, S, T und R 1 ,S 1 ,T 1 der Curve stets auf der 
jenigen Flächengruppe zu neun liegen, welche durch die Ver 
bindung des Centrums mit den Berührungspunkten der pro 
jicirenden Schmieguugsebenen bestimmt ist. Durch das eine 
Osculatioussystem ist das andere also vollständig bestimmt. 
Eine beliebige Erzeugende auf einer dieser neun Flächen be 
stimmt zwei Punkte B und der zwei Osculationssysteme 
und die Schmiegungsebeneu in ihnen schneiden die Punkte D' 
und S resp. heraus. Diese fallen also zusammen, wenn die 
betrachtete Erzeugende zwei Punkte eines Dreiecks verbindet. 
Aber diese sind Verbinduugsgerade von Punkten der neun 
B.-Quadrupel, die Schnittpunkte der Schmiegungsebenen somit 
die drei Punkte, welche das Projections-Centrum zum Quadrupel 
ergänzen. Daraus folgt, dass die Verbindungsgeraden der