Arcus, Bogen, Kreisbogen. 112 
?) 1 /‘= — 1 
(.) 2 f= o 
t) 3 f=-1 
8 4 / = 0 
öY=-9 
8 6 /■= o 
8 7 /•=-225 
8 8 f— o 
8 9 f=-11025 
8 10 /= 0 
u. s. w. 
Arcus, Bogen. Kreisbogen. 
Fig. 80. 
Um f, d. h. arccosx, wenn x — 0 ge* 
setzt wird, zu bestimmen, weiis man, dafs 
zu dem cos = 0 der Quadrant, also ge 
hört. Es ist nun nach der Maklaurin’schen 
Reihe 
77 ( QC /y 3 
arc cos a-= —-— (1 • — -f 0 + 1 
2 
+ 0+9. 
1.2.3 
1.2.3-4-5 
+ 0+225*- 
1 ...' 
...) 
Also 
arc cos x = —— arc sin x 
= T-[« 
+ ?±fL + ...l 
2-4 6'7 T J 
Es sei nun 
ß=f(sinß) = f(BF) so ist 
ß = f{CE) =f(cos a) 
hieraus folgt 
-i j- 
2 3 2 4 5 
mithin 
Bezeichnet man den Bogen mit «, so 
kann man die Reihe auch schreiben: 
n T 1 • cos 3 a 3 • cos s (i 
2 L ' 2 3 T 2 4 5 
Í = - — ft = f (COS ft) 
«=y-/*=y ~f( cosn ) 
?+'•••] 
Ein Kreisbogen ist also = — minus 
derjenigen Function von seinem cosinus, 
wo das allgemeine Glied der Klammer- welche allein den Bogen ausdrückt, -wenn 
gröfse ist statt des cos der sinus des Bogens als 
3-5 7...(2n-3) 
2 4 6 . .. (2 n-2) 
¡2//_l ( 
2 w—1 
urvariabel angesehen wird. 
11. Entwickelung des Bogens 
t,. D ui r • . i (y = arctqx) in eine Reihe nachfort- 
Dies Resultat für arc cos x ist auch aus + » ? ' t> + . 
. . x. *. v* * laufenden Potenzen der tq-x. 
rein geometnschen Betrachtungen zu ent- ^ y 
nehmen. J ' “ a . 1 
o arc tg x _ 1 
Denn ist ABD ein Quadrant, AB—a, ~dx — 1 + x 2 
BD—ß, so ist Entwickelt man diesen Ausdruck durch 
“+^T 
wirkliche Division von (1 + x 2 ) in 1 
eine Reihe, so erhält man 
8 1 arctgx — 1 
— X 2 + X* 
— a- 6 + a; 8 
-X 10 
+ a: 12 
8 2 arclgx = 
— 2a: + 4a: 3 
- 6a: 5 + 8a: 7 
-10a: 9 
+ 12a: 11 
8 3 -arctgx= 
-2 +3 4a: 2 
— 5 • 6a: 4 + 7 • 8a: 6 
— 9 • 10a; 8 
+ 11-12a: 10 
8 4 arctgx — 
+ 24a: 
-4-30a: 3 +6- 56a: 5 
— 8 • 90.x- 7 
+ 10-132a: 9 
8 5 arctgx — 
+ 24 
— 3 • 120a: 2 + 5 • 336a: 4 
-7-720a: 6 
+ 9-1320a: 8 
8 6 arctgx — 
-2-360a: +4-1680a: 3 
— 6- 5040a: 5 
+ 8-11880a: 7 
8 7 arc tgx = 
-720 +3-6720a: 2 
-5-30240a: 4 
+ 7-95040a: 6 
8® arctgx— 
+ 2-20160a: 
-4-151200a- 3 
+ 6-665280a: 5 
8 9 arctgx = 
8 10 arctgx — 
8 11 arctgx — 
8 12 arctgx = 
8 13 arctgx — 
+ 40320 
-3604800a: 2 
-2-1814400a: 
- 3628800 
+ 5-3991680a: 4 
+ 4-19958400a: 3 
+ 3-79833600a- 2 
+ 2 239500800a: 
+ 479001600 
Bezeichnet wie in No. 9, f= arc tg x für x = 0 
auch der zugehörige Bogen = Null wird. 
so ist f= 0, weil mit der Tangente