Arcus, Bogen, Kreisbogen. 113 
Nach der vorstehenden Reihe ist 
Sy=+l 8 7 /“=-7 20 
№f= o W f= 0 
S 3 f=-2 ö 9 /•=+40320 
8Y= 0 S 10 /^ 0 
8 5 /=+24 D 11 /^-3628800 
8Y= 0 8 12 /-= 0 
8 13 /‘=+479001600 
Daher nach der Maklaurin’schen Reihe 
arc (ty = *•) = y ’ (+1) + • (- 2) 
i»?** nr? 
Arcus, Bogen, Kreisbogen. 
Setzt man für у seinen Werth 
+ 
+ 
1... 5 
ìt»9 
(+24) + 
1... 7 
(- 720) 
1 + a; 2 
so hat man, wenn man zugleich für ein 
gesetzliches Fortschreiten der Reihe die 
Entstehung der Coefficienten berück 
sichtigt : 
X [\ „ a; 2 
arct 9* = rtx*L 1 + % 
2-4 / 
+ 3.5\1+**/ '3- 
2.a.ß.« / <¿1 \4 
+ ■ 
1+ж 2 
2-4-6 
(+40320) 
1... 9 
+ —^ (- 3628800) 
+ 
■) ^3-5-7 \l+xV 
J-4-6-8 / ж 2 \ 4 
1-5-7-9 \1 + ж 2 / 
Ш+-4 
2-4.6-8-10 
1 ... 11 
r.13 
(+479001600) 
' 1...13 
und geordnet 
arc (lg x)=x — |a; 3 + ja; 5 — \x 7 + yX 9 — X1 x il 
+ T7® 13 
Um einen möglichst nahen Werth für 
arc lg x zu erhalten, müssen eine grofse 
Menge von Gliedern der Reihe berechnet 
werden, weil die Vorzeichen abwechseln. 
Hat man aber eine Gröfse S in einer 
Reihe von der Form 
S = ax — bx 2 + cx 3 — dx i +... 
setzt darin x = —— = y + y 2 +t/ 3 +t/ 4 +... 
1 —2/ 
so erhält man 
S = ay+(a-b)y 2 + (a-2b + c)y 3 
+ (a — 36 +“3c — d) y i 
+ (a — 46 + 6c — 4d + e) y 5 ... 
wo, wie man sieht, die Coefficienten die 
des Binoms sind. Drückt man y durch x 
wieder aus, so hat man 
+ «.-26 + c)( r +J+... 
3-5-7-9-11 
eine sehr schnell convergirende Reihe. 
Das allgemeine Glied der Klammer- 
gröfse ist 
2*4-6...2(n—l) / x 2 \n-i 
3-5-7...(2n-1) \l+^*j 
Bezeichnet man den Bogen mit «, x 
mit tg a, so wird die obige Formel 
_ *9 
l + ty 
к [ 1+ 
tg 2 a 
1 + ty 2 « 
12. Entwickelung des Bogens 
(y = arccotx) in eine Reihe nach fort 
laufenden Potenzen der cot = x. 
Es ist 
8 arc cotx 1 
Д x 1 + ж 2 
also nach No. 11 
8 arc tg x 
Дж 
Die höheren Differenziale von arc cotx 
sind daher ebenfalls gleich den negativen 
von arc lg x, und dieselben für ж = 0 liefern 
die gleichen, aber entgegengesetzten Coef 
ficienten. Statt f= 0 wird hier f— , 
also lauter positive und schnell conver- we U zu der cot = 0 der Quadrant als 
girende Glieder. Bogen gehört. Man hat also 
Man kann die Reihe für arc tg x in die 
eben aufgeführte Form bringen, wenn 
man schreibt 
arc lg x = — [ж 2 — зж 4 + £ж 6 — х ж 8 
+ i* 10 -.-] 
Setzt man nun x 2 =—^— und bemerkt, 
1-2/ 
dafs hier a = 1 d-l- 
b ~ \ 
arccolx — —— « + 3 x 3 — }# 5 + }a: 7 —... 
= Y ~(x-jx 3 + ix*-±x 2 +...) 
- 71 x [, | 2 
2 l+x*L n i+i 2 
2.4 / I 
+ 3-5 \l+® 2 / + J 
oder den Bogen mit «, x mit cot a be 
zeichnet 
so erhält man 
arc tgx = ~[y + fу 2 + х \у 3 + з®*/ 4 + +тз 2/ 5 
cot 
2 1 + coi 
+ 
vi 
)t 2 u L 
i + l 
cot 2 a 
3 l + COi 2 K 
2- 4 / cot 2 a \ 2 "I 
3- 5 \l + cot 2 «/ ’“’J