Arithmetische Progression. 118 
Arithmetische Reihe. 
oder a + b > 2|/«6 
denn für a=b ist =a und \ab-a 
Es kann also nur von ungleichen Zahlen 
die Rede sein. 
Ist nun a>b 
so ist a — b>0 
also auch (a—6) 2 >0 
oder a 2 — 2ai-f 6 2 >0 
4ab — 4ab 
daher a 2 + 2«6 + b 2 >4ab 
oder >u6 
oder > Vab (Yergl. Arith 
metische Proportion). 
Arithmetische Progression s. v. w. 
Arithmetische Reihe. 
Arithmetische Proportion. Proportion 
ist, die Gleichheit zweier Verhältnisse, 
also a. P. die zweier arithmetischen Ver 
hältnisse. 
2 verhält sich arithmetisch zu 3 wie 
5 zu 6, denn es sind die arithmetischen 
Unterschiede zwischen 2, 3 und zwischen 
5, 6 einander gleich, = 1. 
Man schreibt dies in a. P. 
2—3=5—6 
und man hat 2+ 6 = 3+5 
überhaupt in jeder a. P. 
A — ß = a-b 
ist A + b = B + a 
d. h. die Summe der beiden äufseren 
Glieder (A, b) ist gleich der Summe der 
beiden inneren Glieder (R, a). 
Hieraus geht unmittelbar hervor, dafs 
man die Glieder einer jeden a. P. be 
liebig verstellen kann, ohne dafs die 
Gleichheit der Verhältnisse gestört, also 
ohne dafs die Richtigkeit der P. aufge 
hoben wird, wenn nur die zusammenge 
hörigen Glieder gleichnamig bleiben. 
Also wenn A— fl = a — b 
so ist auch A — a =B — b 
B — A = b— a 
B—b= A — a 
a — A = b — B 
a—b —A—B 
b — B — a—A 
b—a—B—A 
Sind die beiden inneren Glieder oder 
die beiden äufseren einander gleich, 
wie A — C=C—D 
oder D—E—E— I) 
so heifst die P. eine stetige a. P. und 
das gleiche Glied die mittlere arith 
metische Proportionale oder das 
arithmetische Mittel der beiden un 
gleichen Gröfsen. 
Es ist aus A—C=C — D 
sogleich 2 C = A + D 
und C=i(A + Z>) 
und die P. ist zu verstellen wie 
D—C=C—A 
C-A—D-C 
C—D—A—C 
Arithmetische Reihe (arithmetische 
Progression). 
1) Unter Reihe (Progression) ver 
steht man eine Zusammenstellung, eine 
Folge von Zahlen, von denen jede fol 
gende aus der ihr unmittelbar voran 
stehenden nach einerlei Gesetz hervor 
geht. Wird zu einer jeden voranstehen 
den Zahl eine bestimmte Zahl addirt 
(eine negative Zahl als positiv subtrahirt), 
um die ihr zunächst folgende zu geben, 
so ist die R. eine arithmetische R.; 
wird jede voranstehende Zahl mit einer 
bestimmten Zahl multiplicirt, um die ihr 
zunächst folgende zu geben, so ist die R. 
eine geometrische R. 
1.2-3-4-5.6 
ist eine a. R., denn es wird zu jeder 
Zahl die Zahl 1 addirt, um die nachfol 
gende zu erhalten. 
l-2-4-8-16....n 
ist eine geometrische R., weil man jede 
Zahl erhält, wenn man die ihr voran 
gehende mit 2 multiplicirt. 
Die Zahlen heifsen Glieder der Reihe, 
links fängt die R. an mit dem ersten 
Gliede, das folgende ist das zweite Glied 
u. s. f.; 6 und n sind die Endglieder. 
Das erste Glied hat die Stellenzahl 
1, das zweite die Stellenzahl 2, das wte 
die Stellenzahl m. 
2. Sind die Unterschiede je zweier be 
nachbarten Glieder einer a. R. gleich, 
wie in dem obigen Beispiel, so ist die R. 
eine a. R. der ersten Ordnung, oder 
schlechtweg eine a. R. 
Sind die Unterschiede ungleich und 
bilden dieselben wiederum eine a. R., 
in welcher die Unterschiede gleich sind, 
so ist die R. eine a. R. der zweiten 
Ordnung, 
wie die Reihe 1 • 4 - 9 • 16 • 25 ... 
denn sie giebt die Unterschiede 3 - 5 • 7 • 9 
und diese die gleichen Unterschiede 2-2-2 
Eine a. R. der dritten Ordnung ist eine R. der «tten Ordnung, deren »«te 
eine R., wenn die dritte Reihe der Unter- Differenzen-Reihe aus gleichen Zah- 
schiede gleiche Zahlen liefert, überhaupt len besteht. Sämmtliche a. R. von der 
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