a. P. und 
e arith- 
oder das 
beiden un- 
aetische 
ion) ver- 
ung, eine 
jede fol- 
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zu geben, 
sehe R.; 
mit einer 
nn die ihr 
ist die R. 
zu jeder 
e nachfol- 
man jede 
ihr voran 
der Reihe, 
in ersten 
¡veite Glied 
Iglieder. 
’ 1 e n z a h 1 
das mte 
zweier be- 
R. gleich, 
ist die R. 
ung, oder 
leich und 
me a. R., 
leich sind, 
zweiten 
eren m te 
:hen Zah- 
von der 
A 
*4 
zweiten Ordnung an heifsen a. R. h '6 h e- 
rer Ordnung. 
3. Arithmetische Reihen erster 
Ordnung. 
Es sei das erste Glied einer Reihe = a, 
dessen Unterschied von dem zweiten Gliede 
= d, so ist das zweite Glied = a-f d, und 
da dieses von dem folgenden dritten eben 
falls um d unterschieden ist, das dritte 
Glied = a + 2d, also allgemein das »te 
Glied, das allgemeine Glied 
= »4- (n — l)rf 
und die Reihe ist 
a • a + d • a -f 2d • a-\-2>d . ... a-f («— 1) d 
Ist d additiv, so ist die R. wachsend, 
steigend, zunehmend; ist d subtrac- 
tiv, so ist die R. fallend, abnehme nd. 
Die zunehmende R. 
1 2 3 4 5 n 
3 • 7 • 11 • 15 • 19 .... 3 + (n — 1) 4 
von dem Unterschied = 4 hat das allge 
meine Glied 
34-(»~ 1)4=4»-1 
also das fünfte Glied ist =4*5—1 = 19; 
das zehnte =4*10—1 = 39 
Die abnehmende R. 
1 2 3 4 n 
20*17*14*11 .... 20 — (» — 1)3 
von dem Unterschied — 3 hat das allge : 
meine Glied 20 —(n—1)3 = 23 —3n; das 
vierte Glied ist 23 — 3*4 = 11, das zehnte 
Glied =23-3*10 = —7 
4. Setzt man bei dem ersten Gliede a 
der R. die Differenz = ± d, so kann die 
R. von a aus nach beiden Richtungen 
bis in’s Unendliche gehend gedacht wer 
den, nach der einen Richtung wird die 
R. zunehmend, nach der anderen abneh 
mend. Das beiden R. gemeinschaftliche 
erste Glied wird besonders: Anfan gs- 
glied (0 als Stellenzahl) genannt. 
a^(n — 1) d .... a^2d • »hf d • a • <t±d • 
«±2d •« ±3d .... « ± (»— l)d 
Ist eine numerische R. zu schreiben, 
z. B. von dem Anfangsgliede 4 und der 
Differenz 3, so hat man 
_« -3 -2-1 0 12 3.... n 
4 —n*3... — 5 — 2* 1*4*7* 10* 13 ...4-f« • 3 
und es ist zu bemerken, dafs jedes be 
liebige Glied als Anfangsglied angesehen 
werden kann. 
5. Nimmt man von einer R. 
a •« 4d * a + 2d.(» — 
a -f (»— 1) d • a (« — 2) d • a + (»- 3) d 
a • a ± d • a ± 2d 
u. s. w. die Glieder der geraden Stellen 
zahlen, also das 2te, 4te,.... n • 2te Glied 
heraus, so behält man eine R., deren 
Differenz =±2d ist. 
Z. B. von der R.: 
1 2 3 4 5 .... 2« 2/i-f-l 
2*4*6*8*10....4n*4n + 2 
Die Glieder der geraden Stellenzahlen 
fortgenommen, läfst die R.: 
2 *6* 10* 14 .... 4»+ 2 
deren Differenz =4 ist; bei der ursprüng 
lichen R. ist d = 2. 
Desgleichen kann man immer 2 auf 
einander folgende Glieder fortnehmen und 
das 3to stehen lassen oder allgemein 
n Glieder fortnehmen und das »4-lte 
stehen lassen; man behält sodann eine 
R. von den Stellenzahlen der ursprüng 
lichen : l*» + l*2»+l*3n-l-l... m n +1; 
und diese R. hat die Differenz nd. 
Eben so lassen sich in eine R. beliebig 
viele Glieder einschalten. Schaltet man 
in die R. 
1 • 7 • 13 • 19 .... von der Differenz = 6 
nur 1 Glied ein, so erhält man die R.: 
1.4.7.10*13*16*19.... von der Differenz =3 
und in diese 2 Glieder eingeschaltet, die 
R. der natürlich auf einander folgenden 
Zahlen. 
Jede 3 auf einander folgende Glieder 
einer a. R. bilden eine stetige arith 
metische Proportion ; hat man also zwischen 
a und a-j-d ein Glied einzuschalten, so 
ist dies 
2 JL±J = a + i j 
2 1 
hat man 2 Glieder einzuschalten, so hat 
man das erste a + jd, das zweite et-ffd; 
für » einzuschaltende Glieder ist die Diffe 
renz d in » + 1 Theile zu theilen und die 
R. zu schreiben: 
d d d 
n • ß +1 —— • «4*2 —=— • « + 3 —j—r 
»-(-1 n + 1 » + 1 
Das n-fiste Glied wird 
d 
a + (» + 1) —r - : — a + d 
» +1 
6. Schreibt man unter eine R. dieselbe 
R. in umgekehrter Ordnung und summirt 
die Glieder, so erhält man eine Summe 
von n Gliedern, die alle gleich sind, als 
3) d • a -f (n — 2) d • a (» — 1) d 
....«-\-2d • a-\-d> a 
und zwar hat man jedes Glied =2«-)-(n — \)d 
Da nun »Glieder vorhanden sind, so s= [ n [2a 4 (n- l)d] 
ist deren Summe n* [2a-4(» — l)d], und r , D • j "o j 
da diese Summe die doppelte Summe der ' , in A er ^ um ™ e c ^ er natürlich auf 
Glieder der einfachen R ist, so hat man einander folgenden Zahlen von 1 bis 100 
die einfache Summe der ersten »Glieder 1? a n ~ 100 ’ nian er ^ a ^ : 
einer a. R. oder S = 4100 [2-(-99 • 1] = 50* 101=5050