Arithmetische Reihe. 
Arithmetische Reihe. 
25 
200 
und s =-200 
5 55 
r- ± — = -f25 
>n R. (A) 
J und rf=+ 5 
(B) 
5 
-30 
iefert. 
i=— 200 
5 105 
2 2 
■) 
u = 25 
-5 
1 
) • 55 (C) 
le andere als 
rn herein zu 
nen Gröfsen: 
das positive 
er Form ent- 
r nicht pafst. 
tzt man diese 
gleich a mit 
tan erhält 
-20 
r der R. (C); 
Glieder; n 
-14. 
ran a = — 20; 
lält man aus 
irklich ist. 
5 ; a = — 50; 
aus No. 14: 
pricht der R. 
(A) d=+5; 
n, so erhält 
d -5 
der R. (A), 
R.: 
±0 +( 
-55-50 
anstatt der 
»eiden Glei- 
! mufs also 
hen. Diese 
llich, wenn 
aus der gegebenen Differenz — d, dem 
»»ten Gliede =u und der Summe s sämmt- 
licher Glieder das erste Glied a und die 
Anzahl n der Glieder gefunden werden 
sollen. 
Es sei gegeben d= 2; u=100; s = 2550 
Man findet aus No. 10: 
a=1±1=+2 und 0 
aus No. 16: 
n =4(202 ±2)=+51 und +50 
Sämmtliche 4 Resultate sind richtig: 
a = + 2 und n = + 50 entspricht der R.: 
2.4-6....100 
a = 0 und n=+51 entspricht der R.: 
0, 2.4-6. ...100 
Auch in den Beispielen für die R. (A) bis 
(C) hat man ± ]/ in No. 10 correspondirend 
mit qp j/ in No. 16, und dies ist allgemein 
der Fall: 
Denn aus Gleichung 1 
u = a-\-(n—l)d 
„ , , w a 
folgt n= — +1 y 
(D) 
(E) 
und a= — + « + 
Ist nun a> — also (No. 10) a= 
so ist nach 
d 
u 4 
2 
nd> 0 
oder u + —- > n d 
oder-^- + ^>«, d. h. (No. 16) 
Glied 15+ jenem lten Gliede =A, das 
2te Glied dieser R. = B + A; überhaupt 
das nte Glied der R. zweiter Ordnung 
+ dem nten Gliede der R. 1 ter Ordnung 
= dem (n+l)ten Gliede der 2ten Ord 
nung. Und im Allgemeinen hat man 
(nach No. 2) jedes nte Glied einer R. der 
»nten Ordnung + dem nten Gliede der 
R. (m+l)ter Ordnung = dem (n+l)ten 
Gliede der R. (»n + l)ter Ordnung. 
Demnach hat man in der R. der 2ten 
Ordnung 
deren 1. Glied =B 
also das 2. „ —B + A 
„ 3. „ -15 + 2A + d 
,, 4. ,, =rR + 3i4+ 3</ 
„ 5. „ =B + 4A + 6d 
= R + ’(n-l)A 
+[1+2+3...+(n—2)] d 
= B + (n-l)A 
(»-D (n-3) 
1. 2 
Jede R. der 2ten Ordnung mufs von die 
ser allgemeinen Form sein. 
Für eine allgemeine R. der 3ten 
Ordnung mufs die vorstehende allge 
meine R. der 2ten Ordnung als die erste 
Differenzenreihe betrachtet werden. 
Es sei deren 
1. Glied —C 
so ist deren 2. 
3. 
4. 
5. 
Ist a<yr mithin (No. 10) <i= + — — V 
Jj ¿i 
w 
so ist gegenseitig (No. 16) n = — +4-+F 
9. Arithmetische Reihen höhe 
rer Ordnung. 
Bei einer R. der nten Ordnung besteht 
nach No. 2 die nte Differenzenreihe aus 
lauter gleichen Zahlen. Es sei diese 
Differenz = d. 
Für eine R. der ersten Ordnung sei: 
das erste Glied — A 
so ist das zweite „ =A + d 
dritte „ = A + 2d