Dämmerung. 
Astronomische Dämmerung. 141 Astronomische Dämmerung. 
= 66j°, d. h. wenn 
t dem Pol gleich- 
steht, erhält man: 
ente D. in Berlin 
lenient der geogr. 
es Orts 
L' 13” = 37°28’47" 
dem ungleichua- 
it, so tangirt ihre 
s, es ist mithin 
onnen-Untergang 
n Augenblick, da- 
lören der Morgen- 
ie Abend-D. an, 
währen 10 Std. 
iigentliche Nacht 
:uert. 
n Pall (No. 14), 
ungleichnamigen 
ir positive Grenz- 
rfiir wird ZZPS 
n giebt es dann 
ng von 5£° von 
ungleichnamigen 
um Pol; also nur 
eine Dämmerung 
l 9 gezeigt ist. 
el No. 12 zu er- 
südlichen Abwei- 
die permanente 
hat man 
\ZPS=1 
■) X sin 2 (18° — x) 
in (90° + ®) 
?r =0 im Nenner) 
en verschwinden 
i 4(18° — x) des 
prechen, mithin 
reichung a; = 18°. 
= 108° = 90°+18° 
so dem Nenner 
Sacht des Nord- 
e, als die Sonne 
18° in den süd- 
von dort wieder 
in denselben Abweichungskreis tritt, wie 
ad 3 schon nachgewiesen ist. 
17. Will man für Berlin die Länge 
der eigentlichen Nacht am kürzesten Tage, 
also bei der südl. Abw. der Sonne von 
23^° erfahren, so hat man 
ZS =108° 
PS = 90°+ 23^° =113;° 
PZ = 90° - 52° 31' 13" = 37° 28' 47" 
und es ist 
. „ , „ „„ si« 92° 0' 36 f X sin 15° 59' 23 f 
un 5 ZPS - sin37 o 2g ' 47"x s in H3^° 
sin 87° 59' 23 f X sin 15° 59' 23 f 
~ sin 37°28' 47'' X sin 66^° 
woraus log sin ^ ZPS = 9,84657906 und ZPS = 89°14 18 
Dies ist der Bogen des halben Tages 
und einer Dämmerung, mithin ist der 
Bogen für den Tag + 2 angrenzenden D. 
= 178° 28'36" 
und der Nachtbogen dessen Ergänzung 
zu 360°=181 S 31'24", daher 
, . . .. 181°31'24" ai , 
die Nachtzeit = —-5 X 24 Stunden 
= 12 Std. 6 Min. 5^ Sec. 
18. Denkt man sich in N0. 12 den 
Bogen PO gezogen, so ist Z OPQ = ZOPZ 
der Z> der den halben Tagebogen OT 
mifst, und man hat 
si« 2 ^OPZ = 
sin\(OZ-{■ OP—PZ) x sin^(0Z + PZ — OF) 
sin PZ • sin OP 
hier ist wieder 
OP= 90° minus der nördlichen Abwei 
chung. 
PZ der Zenith-Abstand vom Nordpol 
und OZ ist hier 90°. 
Für eine südliche Abweichung der Sonne 
bleibt die Formel dieselbe (s. N0. 14), 
nur dafs OP=90° + der Abweichung ge 
nommen werden mufs. 
Man kann also, wenn man aus Formel 
N0. 12 den Bogen des halben Tages -f I) 
erhält, nach dieser Formel den Bogen des 
halben Tages finden, diesen von dem 
ersten abziehen, um den D.-Bogen zu er 
halten. 
19. Für den kürzesten Tag in Berlin 
hat man 
0 Z = 90° 
OP=90°+ 234° =1134° 
PZ = 90° - 52 6 31' 13" = 37° 28' 47" 
mithin 
sin*\OPZ = 
sin 83°0' 36j" X sin 6° 59'23|" 
sin 37° 28'47" X sin 66^° 
Man erhält 
log ^ OPZ = 9,667691675 - 10 
und ZOPZ = 55° 27'12" 
und der halbe Tag dauert 
55° 27' 12" 
——-q—x 24 Stunden = 3Std. 41' 48,8" 
00O 
Diese Berechnung stimmt genau mit 
der unter dem Art. Ascensional-Differenz, 
Beisp. 3, gegebenen; man bedient sich 
also für die Auffindung des Tagebogens 
für einen gegebenen Ort der Erde besser 
der dort aufgestellten Regel 
• 1 ta Abweichung der Sonne 
Sin AsC.-Dlff. = jr—- 
tg Aequatorhohe des Orts 
wo dann 7 Tagebogen = 90° ± Asc.- 
Differenz. 
Nun ist (N0. 17) der Bogen des halben 
Tages + D. =89° 14'18" 
Aus N0. 19 ist \ Tagebogen 55° 27' 12" 
daher ein Dämmerungsbogen 33° 47' 6" 
mithin die D.-Zeit am kürzesten Tage 
= X24Std. = 2 Std. 15 M. 8,4Sec. 
der halbe Tag dauert 
(s. 0.) 3 „ 41 „ 48,8 „ 
|Tag + D. = 5Std.56M.57,2Sec. 
Tag + 2 D. =11 Std. 53 M.54,4Sec. 
folglich Nacht =12 Std. 6M. 5,6Sec. 
wie in N0. 17 berechnet worden. 
20. Unter welcher Abweichung der 
Sonne ein Ort der Erde von gegebener 
geogr. Breite oder Polhöhe die geringste 
Dämmerungszeit hat, ist keine sehr wich 
tige Frage, und doch ist sie verschiedent 
lich und mühsam gelöst worden. 
Da im Sommer die längsten D. existi- 
ren, so kann die geringste Dämmerungs 
zeit nur in den Winter fallen, also bei 
ungleichnamiger Abweichung der Sonne 
mit der Lage des Orts, und diese ge 
schieht offenbar, wenn der D.-Bogen die 
geringste Länge hat, wenn also die Sonne 
diesen Bogen möglichst senkrecht durch 
läuft, folglich wenn die Mitte dieses Bo-