Ablenkung des Lichtstrahls. 
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Ablenkung des Lichtstrahls 
des ihm zugehörigen Sinus auf, so er 
hält man 
1 z 3 1*3 * 5 
Are («»=*) = ■s + y y + - 2 v 4 — 5 ~ + • • • 
Da z ein achter Bruch ist, so ist jedes 
folgende Glied der Reihe kleiner als das 
ihm zunächst voranstehende, und es kön 
nen für den vorliegenden Nachweis die 
ersten beiden Glieder genügen. Man hat 
demnach äufserst nahe 
Are (sin =r Z-) =S+ gz 3 
A re (sin = 2i) = 2z-j--g(2z) 3 
= 2 (*+ i z 3 ) + z 3 
A rc (si n = 3 z-) = 3 z -f s (3 z) 3 
= 3 (z +- b z 3 ) 4 4z 3 
A rc (si n = nz)—tlZ + J (nz-) 3 
= «(*+ ¿z- 3 ) + 3 
Während also die Sinus in dem Ver- 
hältnifs 1:2:3:...» wachsen, wachsen 
die zugehörigen Bogen in einem höheren 
Maafse und zwar in dem Yerhältnifs 
1 :2 + tT:3 + 4J: . . . . n + 
6 
wo d den Cubus des einfachen Sinus be 
deutet. 
Bezeichnet man (z + £ z 3 ) mit A, so ist 
Are sin 2z> 2A + J } d 
Are sin z A . 
Are 4 s , . d Are Gz 
- h 5 -y- = ——- u. s. w. 
Are 2 z A Are 3 z 
2 z 
So wie hier die Sinus-Quotienten— = 
— = so findet dies in Gl. I. statt, und 
2 z oz' 
da ß<u<ß', so ist 
ß « ß 
> —< " 
A — fi 
und zwar so, dafs wenn 
+ Ad 
Arcsin2 n z 
Are sin nz 
2 nA +- 
8 » 3 — 2 n 
»A + 
= 2 + „» x - 
6 
n (n 3 
-d 
n) <V‘ 
+. 
6 A* 
wo jedes folgende Glied im absoluten 
Werth wieder kleiner ist als das ihm vor 
anstehende. 
Demnach ist sehr nahe 
Are sin 2 nz „ z 3 
—. =2 + »t 2 V-y 
Are sm nz z +- ( ‘ z 3 
und — + k' d = 
A A +- « 
A< A' und zwar im Yerhältnifs auf einan 
der folgender ungerader Zahlen 3:5:7 .. . 
Nun hat man 
mithin ß -\-ß' ^ 2 « + d/z (A' +- A) -f JA (A' — A) 
Da nun die letzten beiden Glieder positiv 
sind, so ist 
ß -+ ß' > 2 « 
Für den Beweis, dafs /S+-/S'>2«, war der 
Einfalls Z. ß<«, denkt, man sich gf als 
eintretenden Strahl, so tritt derselbe in 
a s aus. Der Einfalls ß' ist dann > « 
und es ist somit auch für solche das Ge 
setz bewiesen. 
Bezeichnet man die kleinste Total -A. 
(Gl. 1) 2 («— >) durch Z>, den Bre 
ch ungsZl des Prisma (Fig. 10) 
mit c, so ist 
c|Z#e4r 2 R 
21+ /«ci = 2 R 
2 X = c 
2 « — 2 A = I) 
woraus D = 2« —c 
Die Yerhältnisse der Bogen nehmen 
also bei einerlei Yerhältnifs deren Sinus 
mit den Quadraten der Vielfachen dieser 
Sinus zu: 
Are 2z Are 4z Are Gz 
— < < t . . 
Are z Are 2 z Are 3 z ' 
Are 2nz 
Are n z 
und zwar ist der Unterschied zwischen 
den ersten beiden = 3 —, der zwischen 
A 
den folgenden 5 — u. s. w. 
A 
Demnach ist 
Are 2 z ^ g J _ Are 4 s 
Are z A Are 2 z 
Wird 2«—c>90°, so wird 1) - 180 — (2rt- c) 
Die hier gewonnenen Resultate sind also 
folgende: 
1. Die geringste totale A. (D) des Licht 
strahls durch ein Prisma in 2 hinter ein 
ander erfolgenden Brechungen geschieht, 
w r enn der innerhalb des Prisma gebrochene 
Strahl mit beiden Brechungsflächen einer 
lei Winkel bildet; der EinfallsZ. « wird 
= dem Austritts/_•> einer kann für den 
anderen gelten, beide Brechungs^/ A inner 
halb des Prisma sind gleich grofs und 
jeder gleich dem halben, von den brechen 
den Flächen gebildeten brechenden Win 
kel c des Prisma, und die totale Ablen 
kung des Strahls D ist = dem doppelten 
Einfallswinkel weniger dem brechenden 
Winkel des Prisma.