Ausziehen einer Wurzel.
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Ausziehen einer Wurzel.
Gleiches findet für das 4te Beispiel No. 17 girende Reihe für die ]/-Ausziehung als
und für das 3te No. 18 statt. die in No. 15 angegebene, wie folgt:
20. Man entwickelt aus dem binomi- Multiplicirt man die binomische Reihe
sehen Satz eine noch viel mehr conver-
x = {a-\-b) n = a' l -\-~ a «-16+^-^—^ a r ‘~ 2 b 2 + ...
1 1. h
auf beiden Seiten mit l+—y, so entsteht
/ , b \ , »•(«— 1) 9 ,n«(n—l)(n—2) 3,3 ,
x n + — y \= a ' l + na 1 »- 1 b + 1 0 ■ a>‘~ 2 6 2 + jg 3- a 6 +• ”
+ « ,l — 1 6t/ + na' l ~ 2 b z y + ^-y— i 3 y +...
Wird nun y so bestimmt, dafs die 6 2 enthaltenden Glieder verschwinden, dafs
also
re (n—1)
1. 2
a' 1 — 2 -(- na n — 2 b 2 y— 0
so erhält man y = — ——^
Diesen Werth in die Reihe für a;^l +—1/^ gesetzt und reducirt, giebt
f n—1 b 1 , n+1 . , n+1 n(n-l)
a: 1 1 2 ~ — J = a" + -y a"- 1 6
d't-3 J 3
b 1. 2
2 (n+1) re(n-1) (n - 2) m _ x , A _ 3(w+l) n(n-l)(n-2)(re-3) rt , ( _ 5
8 1. 2. 3 10 1. 2. 3. 4
4(n+1) »(»—l)(n—2) (n-3)(n —4) a , t __ß _ IV
12 1. 2. 3.
Hieraus entsteht
x=(a-\-b) n — -
2a
2a— (re—1) b
4.
re+1
„ , _ . , re+1 re*(re— 1) q ,,
4- (t «-1 6 — - a'i—3 6*
^2 6 1. 2
_2(w+J[) n(n-l)(n-2) ,_ d , 4 3(w+l) w •••(n-3) g „_ e , 65
8 *1. 2. 3 10 1.... 4
_ 4 ( w+1) ." o*-6 ¿6 _ 1
12 1.... 5 J
Das reite Glied der Klammergröfse ist:
— 2 re(re— l)...(re— wi+2) .
A (»+« . .
2rei
1. 2.
Giebt man dieser Formel die Form (N0. 15) I, setzt also a — 1, 6 — x, re—, so
erhält man
(!+*)" = j/l+® =
2re
re+1 (»+1) (re—1) . (n+l)(«-l)(2»-l)
2re + (re—1) x
1 + ^ x+
12 re 3 24re 4
(re+1) (re—1) (2re—1) (3re-l)
+ 80re 5
Das reite Glied der Klammergröfse ist:
V-....]
VI
, rn-2 (n—l)(2re—1)... [(m—2) n—1]
2»i ^ 1. 2. ... (rei— 1) re"*
wo das Vorzeichen (+) für ein ungerades m, daA Vorzeichen (—) für ein gerades in
gilt. Hieraus hat man:
3a: 4 9a: 5 7 cc 6 , 45a: 7 297a: 8
7 4 , a: 3 3a: 4 9a: 5 7 a: 6
1 1+X = 4+i L 1+ 4 ^ 32 _ 128 + 512 “ 512
[l + l^
V 1+a:
4+a;
3
3+a:
4096 32768 + ‘
5a; 4 , 4 a; 5
88a: 6 ^ 220a: 7 187 a: 8 |
81 243 1 243 6561 1 19683 19683
-1
