Ausziehen einer Wurzel. 
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Ausziehen einer Wurzel. 
das erste Glied -f —- des Restes mit 2a 
8 n 4 
a .6 
und erhält ——. 
16a° 
Nun mufs der Rest 
enthalten 
8 a 4 
x 8 
64« s 
/ x 2 a: 4 \ x 6 / x 6 \ 2 
' + 2n ~ 8« 3 ) 16a 5 + (l6a 5 j 
8a 4 ^ 64a® 
,+ 
64a 8 1 256a 10 
abgezogen bleibt der Rest 
5a: 8 a: 10 x 12 
~ 64a 6 + 64a 8 ~ 256^° 
Dies ist der Rest, nachdem die ]/ in den 
4 Gliedern: 
« + - - + 
2a 8a 3 16a 5 
bestimmt worden ist. Um das 5t,e Glied 
5a; 8 
zu finden, hat man wieder — durch 
64a 6 
2a zu dividiren, und man erhält als 5tes 
Glied 
128 a 7 
Fährt man auf diese Weise fort, so 
wird die Rechnung immer weitläufiger, 
weil man in jedem folgenden Rest kein 
Glied vernachlässigen darf, bevor man 
nicht das Gesetz, nach welchem die Reihe 
fortschreitet, entdeckt hat, so dafs dann 
das allgemeine Glied ohne weitere Rech 
nung ermittelt werden kann. 
5. Eine leichtere Methode zur Entwicke 
lung der \/ aus einem unvollständigen 
Quadrat in eine Reihe gewährt die Lehre 
von den unbestimmten Coefficienten. 
Man setze, nachdem man sich überzeugt 
hat, dafs a das erste Glied wird und dafs 
x in Potenzen mit nur geraden Exponen 
ten in den übrigen Gliedern vorkommt, 
\a 2 + x 2 = a -f- Ax 2 -f Bx* -f- Cx 6 -f- Dx 8 
+ Ex l0 +Fx l2 + ... 
wo a das bestimmte erste Glied ist, A, 
B, C... bestimmte, aber noch unbe 
kannte Zahlen sind. Dann ist, auf bei 
den Seiten quadrirt, 
a 2 x 2 Ax 2 -\- Bx* Cx 6 . . .) 2 
Die Klammer aufgelöst und a 2 beider 
seits subtrahirt., giebt 
x 2 — 2 a A x 2 -(- A 2 x* 
+ 2aßx*+2ABx 6 + ß 2 x 8 
-\-2aCx 8 + 2ACx 8 + 2BCx l0 +C 2 x i2 
+ 2aDx 8 + 2ADx i0 +2BDx n + ... 
+ 2aEx l0 + 2AEx l2 +... 
+ 2aFx lt + ... 
Bringt man x 2 von der linken Seite auf 
die rechte, reducirt also die Gleichung 
auf Null und ordnet, so hat man 
0 = (2 aA-\) x 2 -\-(Ä l -\-2aB)x i -\-2(A B+aC) a: 6 
+ (B 2 +2ACA2aD)x 8 +2(BC+AD+aE)x l ° 
+ (C 2 +2BD+2A E+2aF) x 12 +... 
Dividirt man die Gleichung durch x 2 , 
so entsteht 
0 = 2aA—\-\-(A 2 -\-2aB)x 2 -\-2(A B+aC)x*+... 
Da nun die Gleichung für jedes reelle 
x Geltung hat, so kann die rechte Seite 
nur =0 werden, wenn 2aA—1 = 0 ist. 
Diesen Werth eingesetzt, entsteht: 
0 = (A 2 + 2 aß) x 2 + 2(/l B+aC) x* +... 
Diese Gleichung durch x 2 dividirt, giebt 
0 = A 2 + 2<iB + 2 (AB + aC)x 2 +... 
und wiederum mufs A 2 +2aB~0 sein. 
Bei fortgesetztem Verfahren und den 
selben Schlüssen erhält man alle Coeffi 
cienten der Reihe = 0, also 
1) 2aA-l = 0 
2) A 2 -\~2aB — 0 
3) AB + aC~0 
4) R 2 + 2AC+2aD = 0 
5) BC+AD+aE = 0 
6) C 2 +2BD + 2AEi 2aF=0 
u. s. w. 
Aus 1 erhält man A = 4- — 
2a 
Diesen Werth in No. 2 eingesetzt, giebt 
und so weiter 
B = ~ 
i 
C= + 
1 
16a 5 
D = - 
5 
128 a 7 
E = + 
7 
256 a 9 
F — 
14 
1024a 1 
Es ist demnach gefunden 
2 t 4 x 6 
+ 
\/aHx 2 = a+-~ 
8 a 3 16a 5 
5x 8 
128 a 7 
7a: 10 14a: 12 
‘ 256a®~ 1024a 11 ^* 
6. Kubikwurzeln aus unvollstän 
digen Kuben. 
2 
Ein Verfahren, wie ad 4, bei der y 
führt zu noch weitläufigeren Rechnungen