Billion. 
367 
Bionomial-Coefficienten. 
commensurabelen Linien, die ein Mediales 
enthalten, nennt Euklid (39. Satz) die 
zweite Bi mediale. Sie ist eine Irra 
tionallinie und hat unter der obigen Be 
deutung von \ B, yC, \ D .... immer die 
Form 
\BC +] /^- • \'BC 
Billion eine Verbindung von je 2 Zahlen- 
Elementen; ab, bc, cd.... in der Com- 
binationslehre. 
Binoculartelescop, eine Verbindung von 
2 Fernrohren für beide Augen des Beob 
achters. Abgesehen von dem doppelten 
Preise hat es gewifs die Unbequemlichkeit 
in noch höherem Maafse, als bei dem 
Theater-Doppelperspectiv; auch sieht sel 
ten ein Mensch mit beiden Augen gleich 
scharf und wählt immer das schärfere 
Auge zu Beobachtungen. 
Binom, Binomium ist: eine zweigliedrige 
Gröfse, als a + b, c — </, 
n ± 2 (a + x); m . )- n (« 4 ic) 
Binomiale, eine der Euklidischen Irra 
tionallinien (s. Apotome, Bimediale, schon 
wegen der in den beiden Artikeln beob 
achteten Bezeichnung). B. im Allgemei 
nen nennt Euklid die Summe zweier blofs 
in Potenz (Quadrat) commensurabelen 
Linien, also wie a 4- j/B, VA 4 \'B. 
Euklid unterscheidet ebenso zweierlei 
B. wie Apotomen, nämlich 1) solche, bei 
welchen der gröfsere Name (Summand) 
um das Quadrat einer ihm in Länge com 
mensurabelen Linie über den kleineren 
potenzirt und 2) solche, bei welchen der 
gröfsere Name um das Quadrat einer ihm 
in Länge incommensurablen Linie po 
tenzirt. 
Ist demnach a oder j//l der gröfsere, 
b oder \'B der kleinere Name, und be 
deutet rn : n ein rationales m': n ein irra 
tionales Verhältnifs, so ist (s. Apotome) 
bei den ersten B. 
a : 
: )/a 2 - 
- B\ 
VA: 
■■V'A- 
- b‘4 
VA : 
■■VA- 
- b) 
Bei den zweiten B. 
a : 11 a 1 — B \ 
1' A : ]/A — 6 2 > = m': n' 
VA: \ f A ^ B ) 
Euklid unterscheidet nun 6 B., die 3 
ersten gehören der ersten, die 3 letzten 
der zweiten Klasse an. 
Die erste B. ist die, bei welcher der 
gröfsere Name einer Rationallinie in Länge 
commensurabel ist; also von der Form 
a + \ B 
Die zweite B., bei welcher der kleinere 
Name einer Rationallinie commensura 
bel ist; also von der Form 
VA 4 b 
Die dritte B., bei welcher keiner der 
beiden Namen mit einer Rationallinie in 
Länge commensurabel ist; also von der 
Form 
VA + VB 
Die vierte B. (die erste der zweiten 
Klasse), wo der gröfsere Name einer Ra 
tionallinie in Länge commensurabel ist; 
also von der Form 
a + yii 
Die fünfte B., wo der kleinere Name 
einer Rationallinie commensurabel ist; also 
von der Form 
\ A 4- b 
Die sechste B., wo keiner der beiden 
Namen einer Rationallinie commensurabel 
ist; also von der Form 
VA 4 V'B 
Es ist hieraus zu ersehen, dafs sich die 
B. von den Apotomen nur dadurch un 
terscheiden, dafs die B. Summen, die 
Apotomen Differenzen sind. 
Binomial- Ooefficienten sind die C. der 
Glieder derjenigen Reihen, welche aus 
der Entwickelung eines Binoms entste 
hen, als 
in 1 • a 4 1 • b = (a 4 b) 1 
die Ooefficienten 1 1 
in 1 - a 2 4 2ab + 1 • b z - (« 4 bf 
die Ooefficienten 1-2-1 
in 1 • « 3 4 3« 2 ä -(- 3ai- 4 1 • A 3 = («-)- b) 3 
die Ooefficienten 1, 3, 3, 1. 
in 4a 3 b 4 7o 2 A 2 4 4«/> 4 6 ‘ 
die Ooefficienten 1, 4, 6, 4, 1 
u. s. w. 
Jede Reihe ist dadurch entstanden, dafs 
die ihr vorhergehende Reihe mit a 4 b 
multiplicirt worden ist, und so würden 
alle folgenden Reihen entstehen. 
a -f b 
a 4 b 
« 2 4 ab 
4- ab 4-6 2 
a 2 4- 2 a b -f // 2 
a 2 + 2ab + Ir 
a Ab 
« 3 -(-2a 2 /> 4 al> 2 
+ a?b 4 2ab 2 -j- l> 3 
« 3 4 3ct 2 /> 4 3ab 2 -|- /> 3 
« 3 43« 2 6 4 3ui 2 4 b 3 
a 4 b 
a 4 43a 3 6 4 3« 2 6 2 4 ab 3 
4 a 3 b 43« 2 6 2 4 3a6 3 4 L 64 
et 4 4 4a, 3 b 4 6a 2 6 2 4 iah 3 4 b 3 
Die oben ausgeführten Multiplicationen