Binomial - Coefficienten. 
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Binomial - Coefficienten. 
geben für die gebildeten und noch ferner 
zu bildenden Reihen folgende Gesetze: 
1. Durch die Multiplication einer aus 
einer Potenz des Binoms (a+/>) entwickel 
ten Reihe mit dem Binom (a + A) ent 
stehen 2 Reihen, eine durch den Factor 
a, die andere durch den Factor 6, jede 
von gleich vielen Gliedern mit dem Mul 
tiplicandus; beide Reihen sind einander 
gleich, wenn man in der ersten oder der 
zweiten a mit A vertauscht. Jedes der 
inneren Glieder in der aus der Addition 
beider Productreihen gebildeten binomi 
schen Reihe ist theils mit gleichen, theils 
mit ungleichen Coefficienten 2 mal vor 
handen, die beiden äufseren Glieder nur 
einmal, mithin erhält jede binomische 
Reihe ein Glied mehr als die voranste 
hende. Die Reihe für (« + 6) 1 hat zwei 
Glieder, also die für (a A) 2 hat drei Glie 
der, die für (a + b) 3 hat vier Glieder, die 
für (« -f A)" hat. («4 1) Glieder. 
Wegen der möglichen Vertauschung 
von a und b in beiden Multiplications 
reihen erhält man in der binomischen 
Reihe als Summe derselben dieselbe Reihe, 
wenn man die Reihe verkehrt schreibt 
und a mit b vertauscht, und die Coeffi 
cienten vom Anfangsglied nach der Mitte 
und vom Endglied nach der Mitte zu sind 
einander gleich. Für (<1+A) 2 '« sind 2>«41 
(eine ungrade Anzahl) Glieder, mithin 
existirt in der Mitte der binomischen Reihe 
das m 4 lte Glied von vorn oder hinten 
an gezählt mit einem nur einmal vor 
handenen Coefficienten und dessen Expo 
nenten von rt und A sind einander gleich, =m. 
Für («4 A) 2 "'— 1 sind 2m (eine grade An 
zahl) Glieder, mithin existiren in der 
Mitte 2 Glieder mit gleichen Coefficienten 
und den binomischen Gliedern a»< A"<—1 
und 1 b>». 
2. Die beiden Endglieder haben den 
Coefficient = 1; die beiden zweiten Glieder 
haben zum Coefficient den Exponent des 
Binoms. Denn das 2t,e Glied entsteht 
für (a -f- A) 2 aus a • b 4 A • a = 2ab 
für (« 4- A) 3 aus rt • 2rtA J- A • a 2 = 3« 2 A 
für (rt -f- A) 4 aus « • 3« 2 A 4 A • a 3 = 4a 3 b 
für (rt 4- A)" aus « • (w — 1) et"- 2 A 4 A • rt'-1 = n ■ rt" 1 A 
Durch Vertauschung von « und A erhält mit dem dritten Gliede, und von A mit 
man das 2te Glied vom Ende = nb"—<«. dem zweiten Gliede der vorhergegangenen 
Das dritte Glied einer binomischen Reihe Reihe, also 
entsteht durch die Multiplication von a 
für (rt 4 A) 2 aus « • 0 4- A • A = A 2 
für (« -)- A) 3 aus «• A 2 -j- A • 2ab = 3rtA 2 
für (rt 4 A) 4 aus rt • 3rtA 2 4 A • 3a 2 A = 6« 2 A 2 
für (rt 4 A) 5 aui rt • 6« 2 A 2 4 A • 4« 3 A = 10« 3 A 3 
für (« 4 A)" aus <1 x dem 3. Gliede von (a 
Der Coefficient des letzten Products ist 
= (« — 1), der Coeff. des ersten ist = dem 
CoefP. des 3ten Gliedes von (_rt 4 A)•*—^ 
4m-2; der Coeff. vom 3ten Gliede von 
(« 4 A)"- 2 — dem des 3ten Gliedes von 
(rt 4 A) ' 3 4 « - 3 u. s. w. bis zum ersten 
Gliede der binomischen Reihe, dessen 
Coefficient n-n — 0 ist; folglich ist der 
Coeff. des 3ten Gliedes von (« 4 A)" = der 
Summe 
w-1 
142434 ... H-3 4m-24« - l-n. - 
durch Vertauschung von a und A hat man 
den B.-C. des 3ten letzten Gliedes eben- 
4 A)"—1 4 A x dem 2. Gliede von («4 A)"-1 
Das 4te Glied von (a 4 A)' entsteht aus 
rtxdem 4ten Gliede von («4 A)'-l 4 A 
x dem 3ten Gliede von (« 4 A)«- 1 ; letz 
teres hat den C. ——— und geht 
man hier ebenso von v 1 bis 0 zurück, 
so erhält man das letzte Glied der Reihe 
h [« - (« ~ Bl O - (m - 2)] = = 1 
Der B.-C des 4ten Gliedes von (rt4A)" 
ist demnach die Stimme der Reihe von 
11 — 2 Gliedern :