Binomial - Coefficienten. 
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Binomial - Coefficienten. 
1 4-n, 
4- m 2 
4- m 3 4-«4 4-« 5 4-... 
. 4- Mac 4- • • • 
+ m, -f-m,M, 
4- m,M 2 -f hi,m 3 4- hi,m 4 4- ... 
. 4- in, Mac—1 4- • • • 
+ 
Hl 2 
4- m 2 M i 4- m 2 M 2 4- m 2 M 3 
. -}- m 2 M,r-2 4- • • • 
4- 
m 3 m 3 Mi 4~ hi 3 m 2 4- •.. 
4- Hl 3 Mac—8 4~ • •• 
4- 
m x -f m 4 M! -f... 
• 4- Hl 4 Mac—4 4- • • • 
+ 
Hlac 4- • • • 
Man erhält durch Addition der senkrechten Reihen 
i 
+ M, 
4- «»I 
= 1 
= («4»i)i 
+ M 2 
4- Hl, M , 
4- m 2 
= (m 4- m) 2 
4- »3 
-f Hl,M 2 
-f hi 2 m | 4-m 3 
= (m4-hi) 3 
+ n,.-l + HI , Mr—2 + m 2 M r—3 +.... + Hlr—2M, + Hl.r—1 = (n + Hl) ;c —1 
+ M.r + HI , M r—1 + HI 2 M r—2 + HI 3 Mac—3 -f .... 4" »lac = (« + *»)x 
9. Eben so ist 
(rt -f- ¿)" X(rt + ¿»)"‘ X (et -f J)/' = («+ 6)«+»H-p 
u. s. w. 
und 
"S x "»S X /'S X r lS X ' S = »+'»+/'+7+ r S 
Ist 
n+m-f p + } + r = s 
so ist 
"S • "'S • /'S • 7S • r S = ®S 
Setzt man 
n = m — p = q — r = ... 
und ist die Anzahl der gleichen Expo 
nenten = ft, so hat man 
"S . "S. "S .... = C"S] * = *«S = s S 
hieraus folgt 
k L JL 
•'S = ]/*S=*S k - *s 
wenn n = ist, und man hat 
7S = (, + 1 )^ =1 + (y) 1 + (x) 2 + (y) ) 
wo s und k ganze positive Zahlen siud. 
die nicht in einander aufzugehen brau 
chen, so dafs dies Gesetz der B.-C, 
auch für gebrochene Zahlen gilt. 
Setzt man * = »; ft = m, so hat man 
MM 
m m n • m — m 
1*2 hi • 2m 
» . J» _ i. _ 2 
m m m _ m • M—m • m — 2m 
1.2.3 m . 2m • 3m 
M 
m 
— £C + 1 
n . n — vi • n— 2m .... m — (# — 1) m 
m • 2m • 3m .... a;m 
10. Wie 
(1 -(- 1)" = 1 -j- m, -f m 2 4- Mj -f-.... = "S 
und 
(1 + 1)"'= 1 +»»i +m a +H* 3 + .... = mS 
so ist auch 
(1 +1)«—»» — l -|- (m — m), 4- (m —m) 2 
4- (m —m) 3 -f- • •.. — "'S 
Es ist aber 
(1 a. i)h—hi — i—X—1_ — — 
k r ' (14-1)* "'S 
und setzt man n = 0, so hat man