Binomischer Lehrsatz. 
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Binomischer Lehrsatz. 
S = n[l + n(m-l) 4- n 2 (/»-l) 2 + .. .. n 2 (m-l),i-2+ n(/n-l),t-i +• (m - 1)»] 
S = m[ 1 + >«(» - 1) +m 2 (n —1) 2 + .... in,¡—2(n — 1) + 
woraus 
S' — l -f n(m — 1) -f- » 2 (in —1) 2 4~.... + n(m— l)/t_i -f* (m — 1)« 
= — [1 + m(n-1) 4- m 2 (n -1) 2 4-.... 4- iw«—2 (n- l)u-2 4- »»«-)] 
Setzt man in der Reihe links m statt »« — 1 und n— 1 statt n, so erhält sie ein 
Glied weniger, und wird gleich der rechts eingeklammerten Reihe, nämlich 
S" = 1 4- m(n — 1) 4- m2 (»—1) 2 4-.... 4- m«_2(n— 1) 4- »»«—1 
= [14- («+1) (n - 2) + (m+1)» (» - 2) 2 +.... ■4- (m+1)„_ 3 (n - 2) 4- (m 4-1 )»*-«] 
woraus 
S' = —•S"= ^ ^ + 1) (n ~ 2) 4" (»»4-l)a («• — 2) 2 
4-... 4- (m 4-1)«—3 (n—2) 4" (m 4" 1)« - u] 
Setzt man wiederum in der Reihe links von S" in 4- 1 für m, und n — 2 für 
n — 1, so erhält sie wieder ein Glied weniger und wird gleich der rechts einge 
klammerten Reihe der letzten Gleichung, nämlich es entsteht aus S" 
S'" =14” ( m 4~ 1) (n — 2 -|- (»*4~ 1)2 (n ~ 2) 2 4- • • • 4- (m 4” 1)^—3 (»—2) 4- (»»4~ 1)«—2 
m 4- 2 
= [1 + (»+2) (»- 3) 4- (»+8), (»- 3), 4-. •..4- («»4- 2) «-3] 
woraus 
S' 
m 
n 
»»41 >>; _ m »»41 m 4-2 
»—1 n — 2 
[14” ( m 4" 2) (» — 3) 4- 4" (m 4" 2)/i—a] 
Fährt man so fort, so erhält man die 
Klammergröfse rechts in immer weniger 
Gliedern. 
Ist der letzte Factor 
m + n — 3 >» 4- » — 3 , ,, >»4-2 
r~0 — 0 statt - 
n — n 3 3 n — 2 
so ist die Klammergröfse 
= 1 4- 2 l (m4n-3), 4- 2 2 (»» + «-3)2 
Für den letzten Factor 
in 4- » — 2 
2 
ist die Klammergröfse 
1 4-11 0» 4- n ~ 2), 
und für den letzten Factor 
m 4- » - 1 
1 
die Klammergröfse 
1 + 0 • (m 4- n - l) u — 1 
Mithin ist 
S' = 1 »(m — 1) »2 (m — 1)2 4- • • • • n (m — l)/<—1 -f (»» — l),i 
in m 4- 1 >» + 2 
m 4 » — 1 • m 4 n — 2 .... m 4 2 • in 1 • m 
11 n — 1 n — 
= (lll 4- n — l);j 
m 4 » 
x —r 
1 • 2 ....»—2-» — !•>» 
Setzt man in diese Formel für S', m für >» — 1, so erhält man 
1 -f n • m 4- »2 m 2 4- »j >» 3 4~ • • • • n 'i nt« = (m 4- n) , 
und für in — n 
1 4- » 2 + 4- n 3 2 4- • • • • n,i 2 = (2n)u 
eine Reihe der Quadrate der B.-C. durch einen einfachen B.-C. ausgedrückt. 
Binomischer Lehrsatz ist der Satz, dafs 
die in dem vorigen Artikel N0. 4 gege 
bene Formel für die Reihen-Entwickelung 
irgend einer Potenz eines Binoms richtig 
ist, nämlich 
(a-\-b)" — a' 1 4- », an—1 b l -j-» 2 »«—2 ft* -f... 
4- »2 n 2 bn— 2 -f n, a l b’i—1 -(- b' 1 
Die Richtigkeit für den Exponent n als 
ganze positive Zahl beweist N0. 4, für » 
als gebrochene positive Zahl N0. 7, und 
für 11 als ganze oder gebrochene negative 
Zahl N0. 8. Sämmtliche Beweise und 
Entwickelungen sind auf elementarem 
Wege geschehen. 
Die Taylor’sche Reihe giebt den b. Satz 
unmittelbar; diese ist