Brennpunkt der Hyperbel. 420 Brennpunkte der Kegelschnitte.
b \ 2 ft , ( U2 - «*\*
woher die Tangente
jp — FC” 2 ~ m 2 ) (” 4 — a 2 m 2 + 6 2 m 2 )
a • m
10. Die Brennpunkte sind übrigens die
einzigen Punkte in der Ebene der Ellipse,
von denen aus die geraden Verbindungs
linien mit Punkten der Curve rationale
Functionen von w liefern. Wie bei der
Parabel erweist es sich, dafs Punkte
aufserhalb der Axe von dieser Eigen
schaft gar nicht exisliren.
Nimmt man den beliebigen Punkt J
in der Ellipse, setzt DJ = xj, CD = u,
und einen beliebigen Punkt F in der Axe
im Abstand CF—i vom Mittelpunkt, so
hat man
FJ 2 = FZ) 2 -(- FJ 2 = (« -1) 2 +
— w 2 -f- J 2
6 2
■2us +— (a 2 -
« 2 )
= b* +
a*- 6 2
m 2 — 2ms + s 2
Soll nun FJ rational zu u werden, so
rnufs der letzte Ausdruck ein vollständi
ges Quadrat sein, also von der Form
(± Au T F) 2 = A 2 m 2 - 2A Bu + F 2
Hieraus ergiebt sich
. t/« 2 — 6 2
A =
und
hieraus
s
oder
F = j/Ä* + s 2
AB-l
= AB = ^—~—-.j/A 2 + * 2
s 2 = ^-^- 3 .(6 2 +s 2 )
s = ± |/<t 2 — 6 2 = ± }/FF 2 — CFA — ± Cl>
d. h. der Punkt F für rationale Functio
nen FJ von m liegt entweder in b oder
F, und nur beide Brennpunkte haben die
verlangte Eigenschaft.
Für die Ellipsen, als Bahnen der Welt
körper um die Sonne und um Planeten
heifst derjenige B., in welchem die an
ziehende Sonne oder der den Mond an
ziehende Planet sich befindet, der Kraft
punkt, Centralpunkt, der Mittel
punkt der Kräfte; der andere B. wird
d erzweite oder d erobere B. genannt.
Die Summe deren Entfernungen von
irgend einem Punkt des Umfangs ist =
der grofsen Axe.
Brennpunkt der Hyperbel. Die Hyper
bel ist eine Kegelschnittslinie, welche ent
steht, wenn man Fig. 71, pag. 83 (Art.:
Apollonische Parabel) den Durchschnitts
punkt F als Scheitel beibehält, einen Punkt
in BD für die Richtung der Axe aber
rechts von J nach D hin verlegt, während
ein zweiter Axenpunkt von J nach F hin
eine Ellipse giebt, nämlich eine geschlos
sene Curve, indem der letztbezeichnete
Durchschnitt verlängert die Seite AB un
terhalb BD in einem zweiten Scheitel
trifft. Ein von GH nach D hin verlegter
Schnitt, die Hyperbel, trifft unterhalb BD
keine Seite des Kegels, sie geht bis
ins Unendliche fort; deren Ebene aber
über F hinaus verlängert, schneidet den
über A mit den Seiten BA und DA ver
längerten Kegel, und bildet dort eine
zweite Hyperbel, welche der ersten gg ist.
Die Hyperbel hat nun keinen eigent
lichen B., keinen Punkt wie die Parabel,
in den alle + mit der Axe auf die hohle
Linie fallenden Strahlen durch Reflexion
vereinigt werden, oder wie die Ellipse,
welche zwei B. hat, von denen jeder die
Strahlen in sich vereinigt, welche von
dem anderen ausgehend, in jedem Punkt
der Curve reflectirt werden.
Jeder von irgend einem Punkt der
hyperbolischen Linie in den sogenannten
B. reflectirende Strahl rührt von einem
einfallenden Strahl her, der eine andere
Lage gegen die Axe hat, und zwar eine
um so gröfsere Neigung mit derselben,
je weiter der Hyperbelpunkt von dem
Scheitel sich befindet. Stellt man also
eine Leuchte in den B., so wird die Hy
perbel deren Strahlen durch Reflexion
zerstreuen, und der B. ist optisch be
trachtet ein Zerstreuungspunkt; da
gegen haben sämmtliche einfallende Strah
len, die in den B. reflectiren, eine Lage,
dafs sie verlängert in einen Punkt zu
sammenlaufen , der hinter dem Scheitel
in deren verlängerter Axe liegt, und der
in der entgegengesetzt entstehenden Hy
perbel die gleiche Lage mit dem B. der
ersten Hyperbel hat. Diese beiden Punkte
heifsen nun die Brennpunkte der Hy
perbel. (S. das Nähere in dem folgenden
Artikel.)
Brennpunkte der Kegelschnitte. Die
für die Optik so sehr unterschiedenen
Eigenschaften der 3 Kegelschnittslinien,
und wenn man den Kreis als 4ten Kegel
schnitt hinzu nimmt, dessen B. im Mit
telpunkt liegt, so wie deren, in dem Art:
„Bahn der Weltkörper“ schon gedachten
Bedeutung in der Himmelsmechanik giebt
Veranlassung, den Grund deren Abwei
chungen, der in dem eigenthümlichen
Verhältnifs zwischen den Ordinateli und
Abscissen liegt, hier aufzusuchen.
