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Brennpunkte der Kegelschnitte. 421 Brennpunkte der Kegelschnitte. 
Fig. 257. 
ist dieses — FJ • sin JFD — x sin ß 
x sin «, und auch = DJ • sin FDJ 
DJ cos -- daher 
• „ „ , « 
x sin ß = DJ cos — 
_ r sin « 
DJ = x • = 2x sin 
also 
GJ 2 = y 2 = 2li sin — • a? 
Es sei ABD ein Kegel, der Ton der 
Spitze A aus nach beiden Seiten in’s 
Unendliche verlängert gedacht werden 
kann. ABD sei ein Stück desselben als 
gerader Kegel abgeschnitten, d. h. AB 
= AD, und zugleich BGDH eine Kreis 
ebene. Das geradlinige A ABD sei ein 
Axendreieck des Kegels, also AC die Axe 
des Kegels, BD der Durchmesser des 
Grundkreises. 
Nimmt man einen beliebigen Scheitel 
punkt F, so ist ein senkrecht auf A ABD 
geführter Schnitt 
nach FF BD ein Kreis, 
„ FJ 4-AB eine Parabel, 
„ FJ' wo J'B < EF eine Ellipse, 
, FJ" wo J'B>EFeine Hyperbel. 
Bezeichnet man Z BAD mit a, Z DFJ 
mit ß, Z DFJ' mit ß', Z DFJ" mit ß", 
die Linie EF mit k, so lassen sich die 
Coordinatengleichungen für die gedachten 
Curven finden, wie folgt: 
A. Die Parabel. Zieht man GH 
durch ./ normal auf BD, und führt durch 
die beiden Linien FJ und GH eine Ebene, 
so schneidet diese den Kegelmantel in der 
parabolischen Linie GEH. Setzt man den 
festen Scheitel F als Anfangspunkt der 
Coordinaten, FJ als Abscisse = ®, so sind 
die rechtwinkligen Ordinaten JG, JH ein 
ander gleich, weil BD der Durchmesser 
des Kreises BGDII ist, und man hat 
JG 2 = BJ • DJ 
BJ ist = EF— k 
Fällt man von J auf FD ein Loth, so 
Die für die hier angenommene Parabel 
constante Gröfse 2k sin heifst der Pa 
ra met er, und man hat allgemein 
y 2 = p • X 
Das Quadrat der Ordinate ist also =dem 
Rectangel aus dem Parameter und der 
Abscisse, und aus diesem Grunde ist die 
Curve Parabel (Vergleichungs-, Gleich 
setzungslinie) genannt worden. 
B. Die Ellipse. G'H' durch J' nor 
mal BD giebt die elliptische Linie 
G'FIl'; FJ' = x; J'G' = SH = y 
daher 
iß = BJ' • DJ' 
Es ist 
BJ' = BJ — JJ' = k — JJ' 
Fällt man ein Loth J'L auf die ver 
längerte FJ, so ist 
J'L = FJ' sin J'FJ = JJ' • sin J'JL 
Z J'FJ — z J FD — Z JFD = ß' — tc 
Z J'JL = Z FJD = 90° - ~ 
, 2 
daher 
J’L = x sin (ß' — rr) = JJ' cos ~ 
woraus 
JJ- 
sin (ß'— a) 
Denkt man sich ferner ein Loth von 
J' auf DF, so ist dieses 
= FJ • sin J FD = DJ' sin J DF 
= x sin ß' = DJ' . sin ^90° — 2 ) 
woraus 
sin ß' 
DJ = 
daher 
y 2 = k~ 
sin (j3' 
—«) \ sm ß 
X I • X 
n / a 
— / cos 
ift; 
:» ; ,