Bruch (Arithmetik). 435 Bruch (Arithmetik). 
.... 1000 100 10 
1 
JL_ JL 1_ 
TÖ 100 1000 
So wie man nun bei einer nach deka 
dischem System geschriebenen Zahl die 
einzelnen ganzen Zahlen als Vielfache 
der zu derselben Zifferstelle gehörenden 
Einheit betrachtet, so kann dies auch mit 
den Brächen geschehen. 
Die Zahl 2453 ist 2 x1000 + 4x100 
+ 5x10 + 3x1 wo 1000, 100, 10,1 die 
Einheiten der Zifferstellen sind. Setzt 
man aber durch ein Komma (245,3) fest, 
dafs die 5 in der Einerstelle steht, so hat 
3 
man die Zahl 245,3 = 200 + 40 + 5 + — 
oder — — ; eben so ist die Zahl 1,245 
2 _4^ b_ _ 245 _ 1245 
+ 10 + 100 + 1000 ~ 1 1000 ~ 1000 ' 
4 
Die Zahl 0,48 heifst: keine Ganze + — 
. 8 . . , 4 8 . . 48 
+ iöö ts P nc * ,: iö’ioö ohneI ’ lus) = IÖÖ 
In der Zahl 034 ist die Null an sich 
unnütz; sie bedeutet, dafs keine Tausende 
da sind; in der Zahl 6,540 ist die Null 
an sich unnütz; denn sie zeigt nur, dafs 
keine Tausendtel da sind; 00437, 12,00 
ist = 437; 12. Dagegen 0,005 heifst: keine 
Ganze, keine Zehntel, keine Hundertel 
5 
+ 5 Tausendtel = —-— 
Solche in Form ganzer Zahlen mit 
einem Einerkomma geschriebenen Brüche 
heifsen Decimalbrüche, deren es wie 
der ächte und u nächte giebt. Die 
Ziffern rechts dem Komma heifsen De- 
cimals teilen. 
5. Wird zu Zähler und Nenner eines 
B. einerlei Zahl addirt, oder von densel 
ben einerlei Zahl subtrahirt, so wird der 
Werth des B. jedesmal geändert. Ist der 
B. ächt, so wird er bei Addition von einer 
lei Zahl gröfser, bei Subtraction kleiner. 
Bei unächten B. geschieht das Entgegen 
gesetzte. 
a + n a b — a 
b + n b b (6 + n) 
also für b > a ist 
a + n a 
b + n > b 
Vergleicht 
a — 
man — 
b — 
n 
n 
mit 
n 
~r so 
u 
det man 
a 
a — n 
b - 
a 
b 
fl 
0—71 
b 
(6- 
n) 
also 
a — n 
a 
b — n~ 
T 
wobei n<b sein mufs. Für b < a entsteht 
das Entgegengesetzte. 
Man bringt einen B. auf die kleinsten 
Zahlen (s. Abbreviren der B., Aufheben 
der B.) durch Auffindung des gröfsten 
gemeinschaftlichen Theilers zwischen Zäh 
ler und Nenner, und dies geschieht nach 
und nach folgendermafsen: 
Dividire Zähler und Nenner durch den 
Zähler, z. B. 
«L-L- heifst 
104 “ljf 104 “1.65+ 39 
Die 104 ist verschwunden, und man 
sieht, dafs der gröfste gemeinschaftliche 
Theiler zwischen 39 und 65 auch der 
zwischen 65 und 104 ist. Verfahre also 
ebenso mit so erhält man 
1 39 _ 39 
TUT ' ' h ' 65 ~ 1739 + 26 
und der gröfste gemeinschaftliche Theiler 
zwischen 26 und 39 ist auch der zwischen 
39 und 65, folglich auch der zwischen 
65 und 104. So weiter entsteht 
26 1 _ 26 
39 ~ 1+| ~ 1-26 + 13 
so dafs 13, der gröfste gemeinschaftliche 
Theiler zwischen 65 und 104, gefunden ist. 
Man sieht, dafs man bei dieser Opera 
tion den einfachen B. in den Kettenbruch 
1 
verwandelt hat, und dieser giebt immer 
den Werth eines B. in den kleinsten Zah 
len an, wenn man ihn wieder in einen 
reinen B. umformt. Die Operation ge 
schieht praktisch, wie folgende Darstellung 
zeigt: 
65 65 | 104 1 1 
Toi 65 1 
39|65 1 
'39 
26 ¡39 1 
26 
13|26 2 
26 
0 
und die Partialquotienten 1, 1, 1, 2 bil 
den zugleich der Reihe nach die ganzen 
Nenner des Kettenbruchs. 
6. Brüche können nur addirt und von 
einander subtrahirt werden, wenn sie sich 
auf einerlei Einheit beziehen, d. h. einer 
lei Nenner haben (s. Addition No. 6) z. B. 
5 _2 = _7_. A 
9 ' 9 9 ’ 11 11 11 
Bei ungleichen Nennern sind erst gleiche 
Nenner zu schaffen, z. B. bei | — |, wo 
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