Buchstabenrechnung. 
440 
Buchstabenrechnung. 
und man hat aus beiden Resultaten 
■ i> , ft Ct Ct 
ct — ax -f- ax c — ... ± ax n — ± _ 
X iC 2 ’ ‘ ' x" 
D. Die Rechnung mit Potenzen hat 
auch ihre 4 Species. 
Addirt und subtrahirt können nur Po 
tenzen werden, wenn sie einerlei Wurzel 
und einerlei Exponent haben, wenn sie 
also einander gleich sind. 
a* — 2>a c + 7o»• = ba& 
ax n -f- bx' 1 — cx n = (o + b — c)x' 1 
Potenzen mit verschiedenen Wurzeln 
und mit verschiedenen Exponenten wer 
den eben so addirt und subtrahirt, wie 
ungleiche Buchstabengröfsen: 
o" ± b" q: a" 1 bleibt o" ± b" a"‘ 
Multiplicirt und dividirt können Poten 
zen nur werden, wenn sie gleiche Wur 
zeln oder bei verschiedenen Wurzeln gleiche 
Exponenten haben: 
1. a ni • a' 1 — o"'+" 
Denn a»‘ ist das Product, welches aus 
m Factoren besteht, von denen jeder = a 
ist, und o« ist das Product, in dem o 
als Factor nmal ist, folglich hat das Pro 
duct a m • a" die Zahl o als Factor (m + n) 
mal, eine Potenz, die durch o"»+« aus 
gedrückt wird. Hiernach ist 
r« — W" 1 — 
a n a n ~ m 
2. a" x b" = (ab)'* 
o" _/a\" 
b -\~b) 
E. Wurzelgröfsen können nur addirt 
und subtrahirt werden, wenn sie gleiche 
Potenzen und gleiche Exponenten haben. 
m m ,u 
o+c ± 6+c = (a ± b)\'c 
m n m „ 
o+c ± byd bleibt o+c ± byd 
m m m in 
a\'c ± byd bleibt o+c ± byd 
"* " in n 
o+c ± by'c bleibt a\’c ± byc 
Dagegen kommt es vor, dafs Reductionen 
möglich werden, wenn nämlich in Buch 
staben- oder Zahlen-Ausdrücken Formen 
wie 
TI n 
ya"b, ya»‘+"b 
u. dgl. mehr sich befinden, so dafs eine 
theilweise Wurzelausziehung geschehen 
kann. 
Beisp. I.: 
7-1/54+ 3+16 ++2-5+128 
ist 
a"—m 
nämlich am—n wenn m > n; 
3 a n—m 
wenn n > m ist. 
Setzt man m < n, so bleiben beide Quo 
tienten gültig, und es ist allgemein: 
i 
a m—n — 
also 
— = a 7 -5 = -^- = a 2 = _ 
und 
ft 3 5 1 
a a ° 
Hiernach erklären sich Potenzen mit 
negativen Exponenten, und man kann 
auch mit solchen multipliciren und divi- 
diren, als 
o— 3 x o+ 4 — o 4 —3 — a— ~ 
a— 1 
a— 3 x o— 4 = o—7 _ _ 
iv 
3 , .. 2 1 
—- —a—3 +5 = a % = —- 
o—3 a—2 
= 7+2 - 3 3 + 3+2 - 2 3 + +2 - 5+2 • 4 3 
= (21 + 6 + 1 - 20)+2 = 8+2 
Beisp. II.: 
|M i/a 2 c 3 I /a 2 ccP 
V b 3 + V ~bd* ~ V 
= iVi+ a i 
( aß ac ad\ i / c 
T 3+ T~T/ V~b 
Wurzelgröfsen können mit einander nur 
multiplicirt werden, wenn sie einerlei Ex 
ponent haben, als 
in m m m 
+a X yb X +c = yabc 
Haben die Gröfsen verschiedene Expo 
nenten, so kann man sie in Wurzeln von 
gleichen Exponenten verwandeln, wie man 
Brüchen von verschiedenen Nennern einer 
lei Nenner giebt. Es ist nämlich 
denn setzt man 
+o« = a 
a" = b 
—- = «3+3 = a 8 
0—5 
ft~ 3 _ 8 _J_ 
0+5 Cl nß 
1 
0—8 
n n 
so ist +o« = yb = der derjenigen Zahl, 
welche nmal multiplicirt b giebt, und diese 
Zahl ist keine andere als o; weil o, nmal mit 
sich selbst multiplicirt a" = b ist. Dem-