Geometrie. 
Algebraische Geometrie. 47 Algebraische Gleichung. 
e Formel für die 
'hen-Inhalts F eines 
L 
a • h 
linie und h dessen 
■de geradlinige Figur 
r ist, so kann bei 
b und geschehener 
ten und Diagonalen 
radlinige Figur be- 
xeometrie lehrt, dafs 
eines Kreises gleich 
ssen Grundlinie dem 
i Höhe dem Halb- 
Bezeichnet man den 
, dessen Halbmesser 
ebraische Formel für 
Preises 
IIP 
messer D des Kreises 
ch verhält, wie 1 zu 
1,1415926..., die mit 
2 • 3,1415 ... B 
3... ß = 3,14159 ß 2 
gebenem Halbmesser 
ses und gegenseitig 
it noch aufserdem zu 
bei Anwendung der 
he Construction und 
öfserer Geistes-An- 
rden könnten: 
hagorische Lehrsatz: 
nein rechtwinkligen 
rat der Hypothenuse 
der Quadrate beider 
letisch erwiesen: Be- 
itz als die Aufgabe: 
zwischen der Gröfse 
ul der Katheten al 
so könnte man z. B. 
•en: ln dem gegebe- 
reiecke AE ff, dessen 
44. 
nd die Hypothenuse 
den, verlängere man 
die Katheten durch die Winkelspitzen und 
construire das Quadrat (ADCD) von (a-f6). 
Theilt man die übrigen beiden Seiten, 
wie Fig. 44 zeigt, in die Abschnitte a 
und b und verbindet die zunächst be 
findlichen Theilpunkte durch gerade Li 
nien, so sind die 4 entstandenen Dreiecke 
congruent, also ¿AEH - Z CHF; Z A HE 
+ ZAEH=R; folglich ZAHE + ZCHF 
= ß und Z(-HF=li, da dies von allen 
übrigen 3 Winkeln des mittleren Vier 
ecks gilt, so ist dies ein Quadrat und 
zwar das der Seite c. 
Nun ist OAIWD-UHEFG + iZAHE, 
oder algebraisch 
(q 4- 5)* = c 2 -f 4 • — c 2 -)- 2 ab 
hieraus 
a~ F 6 2 -j- 2 nb — c 2 -|- 2 ab 
2 ab = 2 ab 
a l 4- 6 2 — c 2 
8. Noch eine zweite Aufgabe möge als 
Beispiel gelten: den Zusammenhang zwi 
schen den 3 Seiten eines Dreiecks und 
einer der 3 Höhen desselben zu finden: 
Fig. 45. 
Bezeichnet in dem ZABC, h die Höhe 
auf der Seite a, x die Projection der 
Seite b auf a, so hat man: 
(/i 2 =) c 1 — (q — x) 2 = b 2 — x 2 , woraus 
a 2 -(- b 2 — c 2 
2 a 
aus h 2 = b 2 — x 2 hat man nun 
so dafs jede Höhe h eines Dreiecks be 
rechnet werden kann, wenn dessen 3 Sei 
ten a, b, c gegeben sind. Für die Rech 
nung mit Logarithmen ist die Formel 
für h unbequem. Mit Hülfe der Formel 
A 2 — B 2 = (/1 + B) (A — B) läfst sie sich um 
formen in 
woraus 
h t _ (a+b) 2 -c 2 ' c 2 -(q-6) 2 
2 a 2 a 
woraus wieder 
t i _ (ß+b-\-c)(a-\-b-c){a-\-c-b){b-\-c—a) 
- ■ Za 2 
und h = 
” V [(«■+ 6+ c) («+b - c) (q+ c~b) (6+c- «)]: 
so dafs h mit Logarithmen ohne Unter 
brechung berechnet werden kann. Nun 
ist es auch leicht, den Inhalt J des A 
aus den gegebenen 3 Seiten zu finden. 
Denn J = ^ah, folglich auch 
J— i a • [(<z+6+c)(q-|-6—c) 
(q-j-c—b) (i+c-q) 
oder 
J= l U[(a+6+c) (q-fi-c) (q+c-b) 
(6+c-q)]. 
Aus der hier gezeigten algebraischen 
Behandlung der Geometrie sind für die 
verschiedenen Figuren der Geometrie eine 
Menge von Formeln entstanden, welche 
in den speciellen Artikeln: Dreieck, Acht 
eck, Kreis etc. nachzusehen sind. 
Algebraische Gleichung. Ist unter Al 
gebra erklärt. Sie ist theils der ana 
lytischen Gl. entgegengesetzt, weil in 
dieser keine Unbekannte zu entwickeln 
ist als in der Gl. 
(q + 6) 3 — a 3 -(- 3q 2 b -f 3 ab 2 -f- b 3 
theils der transcendenten Gl., in der 
die Unbekannten als Logarithmen, trigo 
nometrische Zahlen, als Differenziale u. s. w. 
Vorkommen, die alle algebraisch nicht zu 
entwickeln sind, als: 
sinx -f- sin 2 x -)- sin 3 x = nx 
log q ff- log (q + a?) -f- log (q -f 2x) — a -f mx 
{ax + bg) c)x = (cx + dg) dg 
2. Man hat algebr. Gleichungen mit 
einer und mit mehreren unbekannten 
Gröfsen. Da aus einer einzigen Gl. nur 
eine Unbekannte gefunden werden kann 
(s. Algebra), so heifst eine Gl., die mehrere 
unbekannte Gröfsen enthält, eine unbe 
stimmte G1., wie z. B. 
xy 2 ff xy = a 
während eine GL mit nur einer Unbe 
kannten eine bestimmte Gl. heifst, wie: 
x 2 -\-ax-\- 6 = 0 
Zur Auflösung einer Aufgabe mit mehre 
ren (n) Unbekannten gehören auch n Glei 
chungen ; sind diese vorhanden, so sind 
dieselben bestimmt und mit ihnen die 
Aufgabe; sind weniger GL vorhanden, so 
sind diese mit der Aufgabe unbestimmt. 
3. Die Glieder der Aggregate, aus wel 
chen eine Gl. zusammengesetzt ist, heifsen 
auch Glieder der Gleichung. In der Gl.: 
ax -f bxg -f cxg 2 = dx 2 g + ex 3 
sind ax, bxg, cxy 2 , dx 2 g, ex 3 Glieder der 
Gleichung.