Algebraische Gleichung. 
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Algebraische Gleichung. 
Die auf jeder Seite des Gleichheits 
zeichens befindlichen Aggregate der Glie 
der heifsen dieTheile der Gleichung. 
4. Eine Gleichung heifst geordnet, 
wenn die Unbekannten nicht im Nenner 
Vorkommen, und wenn die Glieder in ab 
steigenden Potenzen der Unbekannten auf 
einander folgen. 
Die ungeordnete Gl. x 
ist geordnet in: x 2 — bx -f a~0 
oder in: x 2 — bx = — a 
Bei der zuerst beobachteten Ordnung 
sagt man: die Gl. sei auf Null redu- 
cirt, und man zieht im Allgemeinen 
diese Ordnung vor. 
Folgende Gl. mit 2 Unbekannten 
x i + x 3 y -f- x 2 y 2 xy 3 -f A = 0 
ist nach x geordnet. Nach y geordnet 
ist sie wie folgt: 
y 3 x-4- y 2 x 2 -(- yx 3 -j- £C 4 -f A = 0. 
5. Gleichungen mit einer Unbekann 
ten nennt man nach der höchsten Potenz, 
in welcher, nachdem sie geordnet ist, die 
Unbekannte vorkommt, Gleichungen vom 
ersten Grade oder einfache Gleichungen, 
als 
1. ax + 6 = 0 
Gleichungen vom 2ten Grade oder qua 
dratische Gl., als 
2. x 2 -\-ax-\-b~ 0 
Gleichungen vom 3ten Grade oder cubische 
Gl., als 
3. x 3 -\-ax 2 -\-bx-\-c—0 
Gleichungen vom 4ten Grade oder bi- 
quadratische Gl., als 
4. x ij r ax 3 — bx 2 -{■ cx-\-d = 0 
Kommt die höchste Potenz allein und 
ohne niedrigere Potenzen bei der Unbe 
kannten vor, so heifst die Gl. eine reine 
Gl.; kommen niedrigere Potenzen vor, 
eine unreine oder zusammengesetzte Gl. 
5. x 2 -\-a~0 
6. x 3 -\-b — 0 
7. x*+c=0 
sind reine Gleichungen, die fünfte eine 
reine quadratische, die sechste eine reine 
cubische, die siebente eine reine biqua- 
dratische Gl. 
Finden sich in einer Gl. sämmtliche 
Potenzen der Unbekannten vor, so heifst 
die Gl. vollständig, fehlen eine oder 
mehrere, so heifst sie unvollständig. 
Die Gl. 1 bis 4 sind vollständige Gl.; 
eine unvollständige Gl. vom ersten Grade 
giebt es nicht, vom 2ten Grade wird sie 
eine reine quadratische Gl. (wie 5.) 
a? 3 + aa? 2 + 6=0 
x* + ax 3 -j- bx + c = 0 
sind unvollständige Gl. vom 3. und 4. 
Grade. 
Fehlt das bekannte Glied (die Unbe 
kannte in der nullten Potenz), so läfst 
sich die Gleichung auf eine um Eins 
niedrigere Gl. reduciren. Als 
a? 5 -|- «a; 4 -f- bx 2 -\- cx — 0 in 
a: 4 -j- ax 3 -f- bx + c =0. 
6. Auflösung deralgebraischen 
Gleichungen (vergl. Algebra). Diese 
geschieht, wenn man die Unbekannte durch 
bekannte Gröfsen ausdrückt, wenn also 
die Unbekannte allein auf einer Seite des 
Gleichheitszeichens steht und die andre 
Seite nur bekannte Gröfsen enthält, wie 
x = A; y = B; z — C. 
7. Auflösung der Gleichungen 
des ersten Grades mit nur einer 
Unbekannten. 
Jede Gl. des 1. Grades mit einer Un 
bekannten läfst sich auf die Form bringen 
x ± a = 0 
woraus dann die Auflösung dadurch ge 
schieht, dafs man statt 0 die Bekannte 
a mit dem entgegengesetzten Vorzeichen 
auf die andere Seite schafft, und es ist 
x~-f~ a. 
Beispiel 1. Die Gl. ax+ b — cx-\- d wird 
zunächst in die Form gebracht 
(a-c)x — (6-d) = 0, hiernach in die Form 
b — d 
x = 0 
a — c 
b-d 
woraus x — 
a — c 
Beisp. 2. 
Form 
Die Gl= cx — d in die 
О 
bd 
bc — a 
x = 
= 0 
bd 
bc — a 
Beisp. 3. Die Gl. ——--f c = — in die 
Form 
, a ~d „ 
tf + TT— = ° 
o + c 
d — a 
6-f c 
8. Auflösung der Gleichungen 
des zweiten Grades mit einer Un 
bekannten. 
Jede reine quadratische Gleichung ist 
in die Form zu bringen 
x 2 ± a — 0 
woraus x = |/=f a. 
Jede unreine quadratische Gleichung 
läfst sich in die Form bringen 
x 2 rtax ±6 = 0. 
Hieraus erhält man: 
x 2 ^ax=zp b. 
Für die Auflösung der Gl. kommt es 
nun darauf an, dafs die linke Seite ein