Gleichung. 
Algebraische Gleichung. 49 Algebraische Gleichung. 
b Glied (die Unbe 
in Potenz), so läfst 
auf eine um Eins 
ren. Als 
: 2 +c*=0 in 
: -j- c =0. 
;r algebraischen 
y[. Algebra). Diese 
lie Unbekannte durch 
sdrückt, -wenn also 
auf einer Seite des 
teht und die andre 
iröfsen enthält, wie 
5; j=C. 
er Gleichungen 
s mit nur e i n e r 
■ades mit einer Un- 
mf die Form bringen 
! — 0 
dösung dadurch ge 
statt 0 die Bekannte 
besetzten Vorzeichen 
’schafft, und es ist 
p a. 
. ax + 6 - cx + d wird 
>rm gebracht 
iernach in die Form 
- c 
b-d 
a — c 
— a 
bd 
bc — a 
i + 6* 
x 
in 
die 
-c 
d — a 
X ~l>Tc 
der Gleichungen 
les mit einer Ün- 
itische Gleichung ist 
gen 
i=0 
e = y^a. 
idratische Gleichung 
m bringen 
±6 = 0. 
n: 
c = =p 6. 
g der Gl. kommt es 
s die linke Seite ein 
vollständiges Quadrat werde, und dies 
(if 
hinzusetzt, 
2 
geschieht, wenn man 
indem dann * 2 ± «* + ± 
wird. 
Zu der Gleichung x 2 ±ax = ^b 
schreibe demnach + =-f ^ ® ) 
folglich * 2 ±a*-f 
mij 
oder (**!+= (l) 8 ^ 
±6 
hieraus 
und 
Nach dieser Formel ist jede numerische 
quadratische Gl. aufzulösen (vergl. alge 
braische Formel). 
Die quadratische Gleichung liefert 2 
Werthe (Wurzeln der Gleichung) 
für die unbekannte Gröfse, nämlich: 
+ =f b und 
weil (-J) 2 =(+A) 2 = + A 2 ist. 
9. Die 4 Formen einer quadratischen 
Gl. sind: 
1. * 2 + fl*-1-6=0; x — - -|-±]/^-|-^ -6 
2. * 2 -«* + 6 = 0; *=+-|- ~b 
3. * 2 + a* — 6 = 0; * = — ^ ^ + & 
4. x 2 — ax-6 = 0; * = + — TP + ä 
Die Wurzeln der beiden ersten Gl. sind 
einander gleich, aber entgegengesetzt; 
dasselbe findet mit den Wurzeln der bei 
den letzten Gl. statt. 
Man kann also die 4 Formen auf fol 
gende 2 reduciren: 
5. * 2 ±a*+6 = 0; x = T ± ]/ 
6. * 2 ±a*-6 = 0; »= t -|- ± 1 / ^(y) +b 
10. Für den Fall, dafs i >(y) ©at- 
hält die Gl. 5. nur unmögliche Wurzeln, 
für 6 < (y) enthält sie 2 mögliche Wur 
zeln, Gl. 6. enthält immer 2 mögliche 
Wurzeln. 
11. Bezeichnet man die beiden Wurzeln 
jeder der Gl. 1 bis 4, No. 9, mit und 
w, so hat man in Gl. 1 
•c 2 -\-av +6 = 0 und 
tc 2 + aw + 6 = 0 
Entwickelt man hieraus nach No. 27 
a und 6, so erhält man 
a = — (v + w) 
6 = + »«w> 
für Gl. 2 erhält man a = + v + w; 6 = + vtc 
„ „ 3 „ „ a=-(v+w)-, b = -vw 
„ „ 4 „ „ a =+v+tc; b= — vw 
In jeder quadratischen Gleichung also 
ist der Coefficient (a) der einfachen Un 
bekannten (*) gleich der entgegengesetzten 
Summe beider Wurzeln, und die Bekannte 
(6) gleich dem positiven Product beider 
Wurzeln. 
Setzt man die Werthe von « und 6, 
durch v und w ausgedrückt, in jede der 
Gleichungen 1 bis 4, No. 9, so erhält man 
aus jeder derselben: 
x 2 — (v-\-ic) x-\-vw = 0; und hieraus 
(* — v) (* — tc) = 0 
Es ist also mit der Auflösung der Gl. 
zugleich der Ausdruck, der die Gl. dar 
stellt, in ein Product verwandelt. 
12. Für die symbolischen Gl. 1 bis 4 
No. 9, seien folgende numerische gesetzt. 
1. * 2 + 10* + 24 = 0 
2. 
X 2 
- 10* + 24 
3. 
X 2 
+10* —24 
4. 
X 2 
—10* — 24 
Wurzeln 
1. 
-4 
und - 6 
» 
2. 
+ 4 
„ + 6 
J) 
3. 
+ 2 
„ -12 
4. 
-2 
» +12 
Producte: 
1. (* + 4)(* + 6) = * 2 +10* + 24 
2. (* — 4)(*— 6) = * 2 —10* +24 
3. (* — 2)(* + 12) = * 2 + 10* — 24 
4. (* + 2)(* — 12) = cc 2 - 10# — 24 
In jeder geordneten Gl. ist das erste 
Glied positiv. In Gl. 1 enthalten die 
Glieder also 2 Folgen gleichnamiger Vor 
zeichen (++,++), in Gl. 2 zwei Folgen 
ungleichnamiger Vorzeichen (q—, —+), 
in Gl. 3 eine Folge gleichnamiger und 
eine ungleichnamiger Vorzeichen (+ + } + _) 
eben so in Gl. 4 (-)—, ). 
Jede quadratische Gl. hat so viele ne 
gative Wurzeln, als Folgen gleichnamiger, 
und so viele positive Wurzeln, als Folgen 
ungleichnamiger Vorzeichen. 
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