i Gleichung. 
Algebraische Gleichung. 51 Algebraische Gleichung. 
ir 2, 3 und 4; pro- 
2, so giebt dieser 
36+ 52- 24 = 0 
81+ 78-24 = 0 
144 + 104-24 = 0 
:zeln der Gl. = 2, 3 
— 8« 2 +5« + 14=0 
148). Factoren von 
so mufs mindestens 
r sein. 
1 — 8 + 5 +14 = +12 
• 1-8-5 + 14 = 0 
7urzel der Gleichung, 
r zu probiren, kann 
; +1 dividiren, man 
+ 14 = 0 
und 14 = 2x7, sofort 
die anderen beiden 
7 sind. 
[eier Hirsch, p. 148). 
; Glied, und man ist 
beschränkt. Die Gl. 
irzeichens — der Be- 
ive, aber auch 2 ne- 
en, jedenfalls mufs 
ifort ein Factor von 
der im Cubus das 
, also > 7, weil 7 3 — 
und der Werth noch 
. Der kleinste Factor 
lier eine Wurzel der 
8, und der Factor 8 
; eine Wurzel = 8 ist 
r müssen die beiden 
igativ sein, weil jede 
e höher als 8, den 
ser als Null machen 
Gl. durch x — 8, so 
+ 15 = 0 
— 3 + 05 lo = 3x5, die 
-5 durch den Augen- 
19« - 44 = 0 
h, pag. 150). 
enigstens eine Wur- 
storen von 44 sind 1, 
ud 2 geben negative 
r 4 erhält man den 
and +4 ist eine Wur- 
cient 6 des zweiten 
Anhalt giebt, jeder 
m Wurzel über 4 aber 
erth der Gl. liefern 
würde, so dividiré die Gl. wieder durch 
« — 4; man erhält: 
x 2 — 2 « + 11 = 0. 
Hier ist der Werth der Wurzeln nicht so 
gleich zu übersehen, man findet nach 
N0. 8: 
^.-+1*}/- 10 
und die beiden andern (unmöglichen) 
Wurzeln = 
1 + \/- 10 und 1 - }/- 10 
Nimmt man die negative Summe der 
3 Wurzeln, so erhält man den Coefficien- 
ten des Quadrats der Unbekannten 
= - 4 - (l + j/=lÖ) - (l - )/-lö)=-6 
Die positive Summe = 4x(l + }/—io) 
+ 4 X (l - p /:: lö)+(l + |/-TÖ) (l—]/—Tö) 
giebt den Coefficienten der einfachen Un 
bekannten 
= (+ 4 + 4 j/^TÖ) + (4 - 4 V ~To) 
+ 11 = 19 
und das negative Product 4x(l + ]/— io) 
(l — ]/— io) giebt die Bekannte 
= 4x11=44. 
17. Die cubischen Gleichungen können 
nur von folgenden Formen sein: 
1. « 3 + ax 2 + 6« + c = 0 
2. « 3 + a« 2 + bx— c = 0 
3. « 3 +a« 2 — 6« + c = 0 
4. « 3 + «« 2 — hx— c = 0 
5. « 3 —a« 2 + 6« + c = 0 
6. « 3 —et« 2 + 6« —c = 0 
7. « 3 — ax 2 — fi«+ c= 0 
8. « 3 — a« 2 — bx— c = 0 
Sie entstehen aus den Producten (s. 
N0. 15.) («±m) («±t) (x ± in) durch Ab 
wechselung der Vorzeichen, und man über 
zeugt sich leicht, dafs auch bei den cu 
bischen Gl., wie bei den quadratischen 
(s. N0. 12) so viele negative Wurzeln 
als Folgen, und so viele positive Wurzeln 
als Abwechselungen der Vorzeichen statt 
haben, vorhanden sind. 
Die beiden Producte 
(«+«) («± v) (x^w), so wie 
(« — Ú) («±t>) («rplfl) 
sprechen nur 2 Formen aus; und deshalb 
sind die obigen 8 Formen zusammen zu 
ziehen in folgende 6: 
1. « 3 +ß« 2 +6«+c= 0 
2. « 3 + a« 2 ±6« — c=0 
3. « 3 + <i« 2 — 6« + c = 0 
4. « 3 —a« 2 ±6a;+c = 0 
5. « 3 — ax +6«— c = 0 
6. x 3 — ax —bx — c — 0 
Die erste Form entsteht aus 
(« + w) (« + t) (« + ic) 
Die fünfte Form entsteht aus 
(« —m) (« — v) (« — w). 
Die erste hat mithin mit der fünften 
gleich grofse, aber entgegengesetzte Wur 
zeln, die der ersten sind negativ, die der 
fünften positiv, wie auch Gleichung 1 
drei Folgen und Gl. 5 drei Abwechselun 
gen der Vorzeichen hat. 
Die Wurzeln dieser beiden Formen sind 
also gleichnamig, die der übrigen un 
gleichnamig. 
Die Wurzeln der Gl. 2 und 4 der bei 
den aus vieren zusammengezogenen For 
men sind den oben gedachten Producten 
nach, woraus sie entstanden, einander 
gleich, aber entgegengesetzt; Gl. 2 hat 
2 Folgen gleichnamiger und eine un 
gleichnamiger Vorzeichen, mithin 2 ne 
gative und eine positive Wurzel; Gl. 4 
hat 2 Folgen ungleichnamiger und eine 
gleichnamiger Vorzeichen, mithin 2 po 
sitive und eine negative Wurzel. 
Gl. 3 und 6 entstehen aus 
(«+w) («—v) (x — w) und 
(« — w) (« + r) (« + w) 
Also auch bei diesen beiden sind die 
Wurzeln einander gleich und entgegen 
gesetzt. Gl. 3 hat eine Folge und 2 Ab 
wechselungen, Gl. 6 zwei Folgen und eine 
Abwechselung der Vorzeichen, mithin Gl. 3 
eine negative und 2 positive, Gl. 6 eine 
positive und 2 negative Wurzeln, wie 
auch die obigen Factoren bezeugen. 
18. Bei der quadratischen Gleichung 
können beide Wurzeln unmöglich sein 
(s. N0. 10), bei der cubischen Gleichung 
ist immer eine Wurzel wenigstens mög 
lich, die beiden anderen können möglich 
oder unmöglich sein. Denn wie die Bei 
spiele 16 zeigen, giebt es keine numerische 
cubisclie Gleichung, in welcher das erste 
Glied « 3 nicht so grofs und nicht so klein 
genommen werden könnte, dafs der Werth 
der Gleichung im ersten Falle positiv und 
im zweiten Falle negativ wird, so dafs 
jedenfalls ein möglicher Werth zwischen 
beiden existirt, der den Werth der Glei 
chung zu Null macht. Für den Fall 
zweier unmöglichen Wurzeln hat das Ge 
setz über die Folgen der Vorzeichen keine 
Gültigkeit, und wenn man probiren will, 
um die eine mögliche Wurzel zu finden, 
so verfährt man nach Beispiel 4, N0. 16, 
um auch die beiden unmöglichen zu er 
halten. 
19. Es erleichtert die Aufsuchung der 
Wurzel und ist zur streng wissenschaft 
lichen Auflösung der cubischen Gleichung 
unerläfslich, dafs das zweite Glied ax 2 
fortgeschafft werde. 
Hierfür setze man in die Gl.: 
« 3 + ax 2 + 6« + c = 0 
für « allgemein y + ß, so entsteht: 
(y+ß) 3 +a(y + ß) 2 + b(y + ß) + c = 0 
entwickelt und geordnet: 
4*