Algebraische Gleichung. 56 Algebraische Gleichung. 
D. Für die Gl. von der Form 
x 3 — bx — c — 0 
Man setze wie in C: 
x = r(tga+cota) 
so entsteht 
x 3 — 3r 2 x — r 3 (tg 3 a + col 3 a) = 0 
Es ist 6 = 3r 2 
c — r 3 (ty 3 «+cot 3 «)=J/^ C 
b 3 
lg 3 
col 
J « ) 1 /27c 2 /27c 2 
'« i ~\ 46 3 ~ V 41 3 ~ 1 
— sec(p¿lg <p = tg (45°± 
also cSß \=V l 9 (45°±-|) 
unda;=r (tg n -f col a) = (tg а + cot«) j/-^- 
24. Dafs die beiden letzten Gleichungs 
formen x 3 -bx±c-0 den Character der 
Einschränkung haben, ersieht man aus 
i /27с г stc 
ty ( P ~ I/ — 1 Denn da, Ъдср immer 
27c 2 
>1, so mufs auch immer — Г5 -> 1, also 
4 6 3 
27c 2 >4i 3 sein, wenn beide trig. Formeln 
Anwendung finden sollen. 
Für die beiden Gl. топ der Form 
x 3 — bx±c = 0, wenn 27c 2 <46 3 , wenn also 
die Card. Formel unmögliche Werthe für 
x liefert, hat man ebenfalls Auflösungen 
mit Hülfe trigonometrischer Functionen. 
Es ist nämlich 
sin 3« = 3 sin n — 4 sin 3 « 
woraus sin 3 a—4si»a + Asii»3a =0 (1) 
also die Form x 3 — bx + с = 0 
Die Sinus sind sämmtlich ächte Brüche, 
man hat daher, wie in No. 23, einen 
Radius r zu denken, welcher mit den 
trig. Functionen in Verbindung, einer 
gegebenen Gl. von x genügt. Also 
r 3 sin 3 a — 4 r sin а + i r sin 3n = 0 
Demnach erhält man in 1 für 
. з x 3 X 
sm i u = —- und sm a =— 
r 3 r 
und es wird aus Gl. I. 
— !—-+-{ sin 3a = 0 oder geordnet 
x 3 -^r z x-\-\r 3 sinSa — O (2) 
man hat also b = \r 2 
und c-\r 3 sin3tt 
woraus r=2 \/~ (3) 
, . i /27c 2 
und»n3« = J/_ ( ( 4 ) 
Die Auflösung gewährt also nur mög 
liche Resultate, wenn 27c 2 <4b 3 , weil 
*in3a immer <1 ist, wenn also die für 
Anwendung der Card. Formel entgegen 
gesetzte Bedingung stattfindet. 
Aus sind« erhält man dann 
• o • 1 / b 
x=r sin a=2 sm a y — 
Ist eine Gleichung von der Form 
x 3 — bx — c—0 gegeben, so nimmt man 
sinket negativ, 3« gehört dann dem 3ten 
oder 4ten Quadranten an. 
Beispiele. 
No. 16, Beispiel 2: 
x 3 — 8;c 2 + 5.e+14 = 0 
giebt No. 22: 
, 49 286 
v = ° 
und die Card. Formel ist nicht an 
wendbar. 
Hier ist 
sin Sa 
-} 
.27 
286 \ 2 
27 ) 
•( 
(I)’ 
143 
343 
und y = 2 •]/— . 
log 143 = 2,1553360 
log 343 = 2,5352941 
log mh3« = 9,6200419—10 
woraus 3a = 24° 38'l” 
Da aber der Bogen 3 a dem 3ten oder 
4ten Quadrant angehört, so hat man für 
den 3ten Quadr. 
3a = 180 +24°38' l” = 204°38' l” 
woraus a = 68° 12'401” 
14 . 
g sm a = — sm a 
Es ist nun sin68° 12'40'-”=0,9285584 
14 
also = y 0,9285584 = 4,33327 
Es ist (No. 22) 
* = 2/+y = 4,33327 + 2,666.... = 6,99993 
oder = 7, wie No. 16 durch Probiren ge 
funden worden. 
Eine zweite Wurzel läfst sich durch die 
Formel nicht finden, denn nimmt man 
3a als dem 4ten Quadrant angehörig, 
so ist 3a = 360° — 24° 38' l” = 335°2l' 59” 
also a = 111°47'194” 
und 
sin 111°47'194” = sin 180° — 111°47' 19^" 
= sin 68° 12' 404” 
wie für den 3ten Quadrant. 
25. Es soll noch gezeigt werden, dafs 
die No. 23 und 24 gezeigte Anwendung 
der trigonometrischen Functionen zu Aufl. 
von cub. Gl. sich ganz besonders für ir 
rationale Wurzeln eignet. 
a; 3 —12# —132 = 0 (Meier Hirsch, p. 155.) 
giebt die Näherungswerthe für x: (M. II. 
daselbst)