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Construction d. Gleichungen. 
121 Construction d. Werthe etc. 
oder AXy.AX’ — bc 
Setzt man nun AX—x, so ist Fig. 500 
AX’ = AE - EX’ = AE — AX — a - x 
in Fig. 501 
AX’ = AE+ EX’ = AE + AX = a + x 
Setzt man AX' = x, so ist in Fig. 500 
AX = AE - EX - AE - AX’ = a-x 
in Fig. 501 
AX- EX- AE- A X ’ - A E = x - a 
Man hat also in Fig. 500 die Producte: 
jy v a \> - \x(a-x) = bc 
} x(a — x) = bc 
oder (— x) für x gesetzt 
(— x) (a + x) — bc 
in Fig. 501 
AX x AX ’ = 
Diese 4 Gleichungen auf 0 reducirt und 
geordnet geben 
Fig. 500 : x 2 — ax -j- bc = 0 (1) 
x 1 -f- ax -f bc = 0 (2) 
Fig. 501 : x 2 -f ax — bc = 0 (3) 
x 2 — ax — bc = 0 (4) 
woher mit den beiden Constructionen alle 
4 Formen erledigt sind. 
Aus dem Art.: Algebraische Glei 
chungen, pag. 49, ist zu ersehen, dafs 
Gl. 1 zwei positive, Gl. 2 zwei negative 
Wurzeln hat, und dafs Gl. 3 und 4 eine 
positive und eine negative Wurzel ha 
ben. Daher sind in Fig. 500 beide Wur 
zeln AX und AX’ entweder beide posi 
tiv, oder beide negativ; in Fig. 501 ist 
für die 3te Gl. die kleinere Wurzel AX 
positiv, die gröfsere AX' negativ; für 
die 4te Gl. ist die gröfsere AX' positiv, 
die kleinere AX negativ, wie aus der 
Entwickelung der beiden letzten Glei 
chungen augenscheinlich hervorgeht. 
AVenn Fig. 500 CG = CB ist, so berührt 
der Kreis die Linie AE in G, und es 
giebt nur eine, d. h. 2 gleiche Wurzeln. 
Es ist 
. c—b c-f b 
CG = AF- AB + BF - b -f —.t: 
( x (a -f x) = bc 
(x (a~x) = bc 
CB = \CF 2 + BF 2 = j/ (I) 3 + 
also es giebt 2 gleiche Wurzeln, wenn 
oder wenn = bc 
4 
dies giebt auch die Algebra. Denn setzt 
man ~ für bc, so hat man 
4 
(12 
Gl. 1 u. 2: a 2 t ax -f = 0 
4 
woraus 
0 
also 
Wird CG > BC 
c-fb 
2 
oder 
< bc 
so entsteht kein Durchschnittspunkt in 
AE, und beide Wurzeln sind unmöglich, 
wie auch die Algebra giebt. Denn setzt 
man 
x > ax -f — -f p 
so erhält man 
x — ± 
a . 
= ± Y ± 1' 
In Fig. 501 ist es weder möglich, dafs 
der Ivreis die Linie AE berührt, noch 
dafs er dieselbe nicht schneidet. Daher 
auch für die beiden letzten Gleichungen 
weder 2 gleiche, noch 2 unmögliche Wur 
zeln entstehen können. Die Algebra be 
weist dies gleichfalls, denn beide Glei 
chungen 
x ± ax — bc = 0 
giebt a = T y±|/^--f bc 
so dafs nur für bc = 0, also wenn x 2 ± ax 
= 0 oder x ± a = 0 nicht zwei gleiche, 
sondern nur eine Wurzel entsteht, un 
mögliche Wurzeln aber wegen der immer 
positiven }/ nicht existiren können. 
Construction der Werthe einer Glei 
chung. Setzt man in einer geordneten 
auf Null reducirten Gleichung für die 
Unbekannte eine der Wurzeln der Glei 
chung, so geschieht der Gleichung Ge 
nüge, deren Werth ist = Null. Setzt man 
für die Unbekannte irgend eine andere 
Zahl, so ist die algebraische Summe der 
Glieder nicht = Null, sondern eine be 
stimmte Zahl, welche der jedesmalige 
AVerth der Gleichung genannt wird. 
Nimmt man von einem Anfangspunkt 
A einer geraden Linie eine Reine von 
Werthen für die Unbekannte (x) als Ab- 
scissen, die positiven nach einer, die ne 
gativen nach der entgegengesetzten Rich 
tung, und trägt die jedesmaligen Werthe 
der Gleichung als Ordinateli auf, so er 
hält man aus der Verbindung der End 
punkte dieser Ordinateli in einer Curve 
die graphische Darstellung der Natur die 
ser Gleichung. 
Für jede Gleichung des ersten Grades 
wird die dieselbe darstellende Curve eine 
gerade Linie. Z. B. die Gl. x — 3 = 0. 
Ist Fig. 502 XX' die Abscissenlinie, A 
der Anfangspunkt der Abscissen, AB =