Contrageometrische Proportion. 130 
Convex und Concav. 
— y für y und —x für x gesetzt, ver 
bleiben den Gliedern dieselben Vorzeichen. 
Contrageometrische Proportion ist die 
Proportion zwischen den Differenzen ein 
facher Glieder als Vorderglieder, und den 
einfachen Gliedern als liinterglieder, letz 
tere in entgegengesetzter Ordnung mit 
der, "welche eine stetige Proportion er 
giebt. 
Wenn nämlich a : 6 = 6 c 
so kann gebildet werden 
« — b : b — c = a : b = b : c 
die contrageometrische Pr. ist aber 
entweder a — 6 : 6 — c = 6 : a (1) 
oder «—6:6 — c = c:6 (2) 
In beiden Fällen existirt keine Propor 
tion zwischen n, b und c. 
Z. B. es sei b — 8, c = 4, so ist bei der 
zweiten Proportion 
« — 8:8 — 4 = 4:8 
nur möglich, wenn « = 10 ist. 
Aber 10, 8, 4 stehen nicht in stetiger 
Proportion. Dieselben Werthe in die erste 
Proportion gesetzt, ergiebt wieder keine 
Proportion, es ist nämlich 
10 — 8 : 8 - 4 nicht = 8:10 
Proportion 1 existirt, wenn 
b = 1 (c — a ± |/c 2 — 2ac + 5« 2 ) 
oder wenn c = b -J- a — 
b 
Proportion 2 existirt, wenn 
b — £ (a — c ± j 7 « 2 — 2«c + 5c 2 ) 
Aus der 2ten Formel für b ersieht man, 
dafs wenn « = 10, c = 4 verbleiben, u 
auch = — 2 gesetzt werden kann. Es ist 
10-(- 2): (— 2) = 4 : (— 2) 
Contraharmonische Proportion ist die 
Proportion zwischen den beiden Differen 
zen zweier von 3 Gröfsen als Vorderglie 
der, und den beiden in jenen Differenzen 
nur einmal vorkommenden Gröfsen als 
Hinterglieder, letztere in entgegengesetz 
ter Ordnung mit der, welche eine harmo 
nische Proportion ergiebt, so dafs der 
Subtrahend der zweiten Differenz das 
dritte und der Minuend der ersten das 
vierte Glied bildet. 
Die harmonische Proportion ist 
« — b : b — c = a : c 
das Mittelglied b = 
die contraharmonische Pr. ist 
a — 6:6 — c = c : « 
das Mittelglied 6 = ^ 
Convergenz (von vergere, neigen) wird 
von geraden Linien gesagt, die in einer 
lei Ebene befindlich einem Punkte sich 
nähern; desgleichen von Reihen, deren 
folgende Glieder immer kleiner w r erden, 
also dem Nullpunkt sich nähern. Der 
Gegensatz von C. ist Divergenz; Li 
nien in einerlei Ebene divergiren, d. h. 
nach der Seite hin, wo sie sich immer 
weiter von einander entfernen; Reihen 
divergiren, wenn vom ersten Gliede ab 
die nachfolgenden Glieder immer gröfser 
werden. 
Convex und Concav (erhaben und 
hohl) sind an Linien und Flächen für 
die Form das, was für die Richtung po 
sitiv und negativ, rechts und links ist, 
nur mit der Einschränkung, dafs man 
convex und concav nicht wie positiv und 
negativ, oder durch Umkehrung des Ge 
genstandes nicht wie rechts und links 
mit einander vertauschen kann. 
Fig. 409 u. 410 sind AEB 2 krumme 
Linien, in A und />, Fl) und GD Tan 
genten an denselben. Die Form der Li 
nie nach den Tangenten hin, oder von 
einem Standpunkt aus gesehen, in wel 
chem die Tangenten vor der Linie lie 
gen, heifst convex, erhaben; die Form 
Fig. 509 u. 510.