Cosecante. 
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Cosecante. 
Nun ist 
dais 
cosec a — —— , also 
sin « 
2 tg a 
tg 2a = ———=- 
* 1-ty 2 « 
cosec 2a = 
1 
folglich ist, wenn man noch den Zähler 
reducirt 
sin 2 a 2 sin « • cos a 
und da aus Fig. 437—440; 
sin 2 aß-cos z a = 1 
sin 2 « + cos 2 « 
cosec 2a = 1 + 
\l + tgaJ 
tg 2a 
cosec 2a = 
2 sin a • cos a 
, / sin 2 « ^ cos 2 « \ 
2 \sin « • cos « sin a • cos «/ 
= 2 h — ) = *(ty« + coi«) 
\cos a sin «/ 
5. Die Formel 8 quadirt gibt 
cosec 2 2« = 1 (coi 2 a 2 tj « • cot « -f t<7 2 «) 
= 1 (coi 2 « + 2 + tg 2 «) 
cosec 2 2« = 1 (sec 2 « +cosec 2 «) (16) 
6. Schreibe für Formel 8 
cosec 2« = t <7 « 1 (coi a —tg a) 
cos « sin « 
= io« + — 
2 sin « 2 cos « 
,2, 
Nun ist i/7 45° = dem Radius = 1; man 
kann also den Zähler des zweiten Glie 
des schreiben 
tg 45° — ig « 
1 tg 45 * tg a 
Nun ist pag. 112 N0. 54 mit Figur 489 
synthetisch erwiesen, dafs 
. / ^ tga — tgß 
5 “ P i + tga- tg ß 
folglich ist der Zähler = tg (45° — «) 
tg (45°—«) 
und cosec 2« = 1 + 
cos ‘u — sin “a 
— tq a -f — — 
2 sin «*cos« 
Nun ist pag. 89 bis pag. 93, N0. 14 
synthetisch erwiesen die Formel 
cos (« + ß) = cos a cosß — sin a sinß 
hierin ß = a gesetzt giebt die Formel 
cos 2« = cos 2 « — sin 2 « 
welche pag. 96 N0. 17 auch synthetisch 
erwiesen ist. Daher hat man 
cosec2« = tga-f-^r—— — tga-\-cot2a (17) 
sin 2a 
7. Schreibt man die Formel 8 
cosec 2« = cot« — 4 (cot« — tg a); 
so hat man nach N0. 6 
cosec 2a = cota — cot 2« (18) 
8. Schreibt man für cosec 2« = . * 
sin 2« 
tg 2« 
11. Setzt man in die Gl. N0. 4 
sin (aß-ß) = sin a cos ß + cos a sin ß 
1 . . 1 
(21) 
sin a 
sin ß = —- ■ 
‘ cosecß 
coseca 
so erhält man nach Reduction 
coseca • cosecß 
cosec (aß-ß)= 
cosa-cosec aßcosß>cosecß 
(22) 
Setzt man ß = a so erhält man, reducirt 
cosec « 
cosec 2« — 
für ß = 2a 
cos ec Sa = 
für /3 = 3 « 
cosecia = 
2 cos a 
cosec a • cosec 2a 
cosa • cosec « -f cos 2« • cosec 2« 
cosec« (23) 
4 cos 2 « — 1 
cosec « • cosec 3« 
(19) 
cosec 2« g cos a 2 sin « • cos 2 « 
so erhält man 
cosec 2« = A cot a • sec 2 « = —— 
2 2 « 
9. Schreibe Formel 12: 
1 + fa 2 « 2tga-2tga + l + tg 2 a 
cosec 2a = — =- — 
2tg a 2tg a 
also dividirt und reducirt 
cos ec 2 a = 1 + ——— (20) 
2 tga 
10. Dividirt man Zähler und Nenner 
des‘2ten Gliedes in Formel 13 mit 1 — tg‘ 2 a 
so hat man 
„ , (1 - tg «) 2 : (1 — tg 2 «) 
2tga:(l— tg*a) 
Nun ist pag. 97 N0. 20 mit Fig. 475 
synthetisch erwiesen, 
cos « • cosec a -f- cos 3a • cosec 3« 
cosec « 
4 cos 3 « -f- cos 3« — cos « 
da nun cos3«=4cos 3 « —3cos« so ist 
cosec « 1 cosec « 
cosec4a gcos 3 «—4cos « 4cos«»cos2« 
für /3 = 4« 
cosec 5« = 
(24) 
coseca • cosec4« 
cos «• cosec « + cos 4a • cosec 4« 
coseca 
16 cos 4 «—12 cos 2 a-(-l 
u. s. w. 
12. Entwickelung einer Reihe für 
cosec« nach steigenden Potenzen 
von «. 
Die Reihe Bd. 1, pag 114, N0. 14: 
1 . 1 , 3 
arc cosec x =—p——»-p. .■■■-=—¿t • • • • 
x 2 -3x 3 2-4» 5a: 5