Cosinus. 
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Cosinus. 
2. Aus Fig. 437 bis 440, wo CE = cos « 
ist, hat man 
cos 0 = cos (- 360°) — sin 90° = -f 1 
cos 90° = cos (- 270°) - sin 0 = 0 
cos 180° = cos (,— 180°) = sin(- 90°) = — 1 
cos 270° = cos '(- 90°)=sin (- 180°)= 0 
cos 3G0° = cos (— 0) = sin (-- 270°) = 4-1 
Ist « ein Bogen für den Halbmesser 
= ] oder ein Winkel zwischen 0 und 90° 
so ist 
cos (90° — «) = cos — (270° + «) = sin a 
cos (90° + «) = cos - (270° - «) 
= sin(— ct)=— sin « = — cos(90° — n) 
cos (180° — «) = cos — (180° + a) 
= sin — (90° — n) = — sin (90° — o) = — cos a 
cos (180° + ß) = cos — (180° — r) 
= sin — (90° + o) = — sin (90° — nr) = — cos « 
cos (270° — ft) = cos — (90° + a) 
— sin— (180°— ft) = —sin « = — cos(90°— r<) 
cos (270° + ft) = cos - (90° - «) 
= sin — (180° 4- a) = sin « = cos (90° — ft) 
cos (360° — «) = cos (— ft) 
= sin — (270°— o) = sin (90° — «) = cos « 
3. Aus Fig. 437 bis 440 lassen sich fol 
gende Formeln unmittelbar ableiten: Es 
ist nämlich 
CE 2 + DE 2 = CD 2 
oder cos 2 « + sin 2 or = 1 (1) 
ferner CE-.CD — AC:AG 
oder cos «: 1 = 1: sec n 
woraus cos « • sec u = 1 (2) 
Will man nun cos « durch die übrigen 
trigonometrischen Functionen ausdriieken, 
so hat man aus 1. 
cos « = ]/1 — sin 2 « (3) 
Da nun den 4 Figuren nach sec 2 « = 1+tg 2 et, 
so ist aus 2 
1 
cos k = a ■ V~ (4) 
cot ft = - 
]/1 + tg 2 a 
und nach den 4 Figuren coi« 
cola 
also a 
1 
tgu 
\ 1 + cot 2 a 
1 
Vcosec 2 tt — 1 
cos « = -— ■— 
cosec« 
aus den 4 Figuren 
cos « = 1 — sinv « 
nnd da sin a = 1 — cosv « 
cos « = y cosv et (2 — 
ferner hat man 
sin a = y 1 — cos 
]/l — cos 2 ß 
tq « = 
cos cc 
(7) 
j/l — COS 2 ft 
1 
cosec « = 
]/l — cos 2 « 
sinv « = 1 — cos« 
COS V ft = 1 — |/l — cos 2 « 
(5) 
(6) 
sec « 
aus dem Art. Cosecante, pag. 136 No. 3, 
Formel 9 
(11) 
(12) 
(13) 
(14) 
(15) 
•(16) 
4. Pag. 89 bis 96 No. 14 und 15 ist die 
Formel synthetisch als richtig bewiesen: 
cos («±/S) = cos « • cos sin «• sinß (17) 
und zwar für jeden beliebigen Werth von 
« und von ß. 
Desgleichen ist pag. 96 No. 17 die Formel 
cos2u = cos 2 a — sinket (18) 
welche analytisch aus Formel 17 hervor 
geht, wenn man darin ß = a setzt. 
Desgl. pag. 96 No. 18 die Formel 
cos 2« = 1 — 2sin 2 « (19) 
welche analytisch wieder aus Formel 18 
entspringt, w'enn man für cos 2 « den Werth 
1 — sin 2 « setzt. 
Desgleichen pag. 96 No. 19 die Formel 
cos 2« = 2cos 2 « — 1 (20) 
welche analytisch aus Formel 18 entsteht, 
wenn man für sin 2 « den Werth 1 — cos 2 « 
setzt. 
Aus Formel 17 erhält man durch Ad 
dition und Subtraction beider Formeln 
unmittelbar 
cos (u + ß) + cos (n —ß) = 2cos u • cos ß (21) 
cos (« — ß) — cos (« + ß)= 2sin u • sinß (22) 
Schreibt man in Formel 20 den Werth 
4 a für «, so entsteht durch Umformung 
« i /1 4- cos « 
C0S ~2 = V 2 (23) 
und für « = 90°±« geschrieben, und da 
cos (90° +r<) nach No. 2 = - siw «, cos (90-«) 
= sin « ist 
90° + « 1 /1 T sin « 
" s —j— = \—*— (24 > 
Beide Formeln sind pag. 99 und 100 
No. 25 und 27 synthetisch bewiesen. 
5. Pag. 89 bis 93 No. 14 sind die bei 
den Formeln 
sin («+/?)+ sin ( u ~ß) — sin « cosß-j-cos ctsinß 
sin (ft-f /?)— sin (a—ß) = sin « cos ß—cos a sin ß 
Durch Subtraction dieser Formeln erhält 
man nach der nüthigen Umformung 
sin (« -f /?) — sin (ft — ß) 
cos « = —— (2o) 
2 sinß v ' 
diese Formel ist pag. 109 No. 46 synthe 
tisch bewiesen. 
Aus Formel 21 erhält man durch Um 
formung 
COS (ft + ß) + COS (ft - ß) 
“ S “ = 2co.« < 26 >