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Cosinus. 
141 
Cosinus. 
cos (« + 2/3) = 2 cos ß cos («+i/S) — cos n 
cos («+ 3/3) = 2cos ß cos (« + 2ß) — cos (« + ß) 
cos (« + 4/5) = 2cos ß cos (« + 3/i)— cos (« + 2/3) 
cos (« + n/3) 
=2cosß cos[«+(n—1)/3]—cos[«+(n—2)/3] (44) 
11. Aus Formel 22 hat man 
cos (<x + /3) = cos (« —/3) — 2sin n • sinß 
hiermit wie No. 10 verfahren entsteht: 
cos (« + 2/3) = cos « — 2sin ß sin (« + ,3) 
cos (« + 3/3) = cos (« + /3) - 2sin ß sin (« + 2/3) 
cos (a + 4/3) = cos (« + 2/3) — 2sin ß sin (r< + 3/3) 
cos (« + nß) 
=cos[«+(n—2)/?}-2sin/3 sin[ft+(n-l)/3] (45) 
12. Pag. 89 bis 96 No. 14 und 15 sind 
die Formeln entwickelt 
sin (« + /3) = sin a cos ß + cos « sin ß 
sin (« — /3) = sin (t • cos ,3 — cos «• sin ß 
durch Subtraction entsteht 
sin («+/)) — sin (ft — ß) — 2 cos «• sinß. 
Schreibt man dafür 
2sin ß • cos «=? sin (« + ß) — sin (« — /3) 
und setzt man hierein für a nacheinander 
die Werthe « + ß, « + 2/3,.... « + nß 
so erhält man 
2sin /3 • cos (« + /3) = si n (« + 2,3) -sin a 
2sin ß • cos («+ 2/3) = sin (« + 3/3) — sin (« + /3) 
2sinß • cos(« +3/3)= sin(«+ 4/3)— sin(a+2,3) 
2sin /3 cos [« + (n — 2) 3] 
= sin [« + (n — 1) /3] — sin [« + (/i — 3)/3] 
2sin /3 • cos («-f (n — 1) /3] 
= sin [« + n/3] — sin [a + (n — 2) /3] 
2sin ß • cos (n + n/3) 
= s in [« + (n + 1 )/3] — s in [« + (n — 1) /3] 
Addirt man diese n + 1 Gleichungen 
mit einander und bezeichnet die Summe 
cos «+cos (o+/3) -f-eos («+2/3)+.. .+cos («+n/3) 
mit S, so hat man 
2sin ß • S = sin [« + (n + 1) /3] + sin (« + nß) — sin « - sin (« — ß) 
Nun ist 
sin« + sin (ß - ß) — sin« + sin« COS ß — COS C( sinß = sin « (1 + cosß) — COS tt'Sinß 
ß ß ß ß i ß ß \ 
— 2sin « cos 2 —— 2cosa sin — • cos -+ = 2cos 4+1 sin’« cos — cos « sin — j 
2 22 2 \ 2 2/ 
= 2 cos 
Setzt man « + (n + l)ß = y so hat man 
die ersten beiden Glieder 
sin y + sin (y — /3) = 2cos y sin fy — 
Folglich ist 
_ sin I 
« + (n + 4)/3 = «‘ + /3* 
«-4/S = « 1 -/3 1 
S = cos 
sin (y - |-)-si#(«-y) 
so ist 2« + nß = 2« 1 
(n + 1)/3 = 2/3» 
Nun ist wie in No. 12 
sin (ft 1 + /3 *) — sin (ß 1 —ß l )=2cos ft 1 sinß 1 
Man hat daher 
sinß 
n + 1 
COS (« + 4nß) • svn ■—5 P 
. t> + (n + 4) /9] - sin (ft - ■' ß) 
— sin _ . ■—— —- 
2sm(\ß) 
Setzt man in den Zähler 
(46) 
S = 
(47) 
sin \ß 
13. Setzt man in die Formeln No. 10 
für ß den Werth «, so erhält man 
cos « = cos « 
cos 2« = 2cos 2 « — 1 
cos 3« = 2cos « • cos 2« — cos « = 4cos 3 « — 3cos « 
cos 4« = 8cos 4 « — 8cos 2 cc + 1 
cos 5« = 16cos 5 « — 20oos 3 ft + 5cos « 
cos 6« = 32cos 6 « — 48cos 4 « + 18cos 2 « — 1 
cos 7« = 64cos 7 « — 112cos 5 « + 56cos ■*« — 7cos n 
cos 8« = 128cos 8 « — 256cos 6 « + 160cos 4 « — 32cos ~« + 1 
cosn « = 2 n 
x cos n «--2"- Z cos n 
>„ + !C2+ 2 » 
+ ■ 
2 ■ " 1 
n • n — 5*n — 6 * n — 
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