Cosinus. 
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Cosinus. 
» . /* \ si ”(f -“) 3 
—— « — sin I —— «14 4 
2 \ 2 2*3 ' 2 • 4 • 5 
+ .... 
oder —— a — ß gesetzt. 
a = ,i„5 + ^4.+ ^L 5 L si ”^ . a-b-7tiH*ß , 
^ 2-3 T 2.4-5 2-4.6 • 7^ 2-4-6-8 • 9 
II. 
Setzt man nun 
sinß = A + Bß + Cß 2 + Dß 3 + .... 
so ist, da sin«« für ß = 0 ebenfalls = 0 
wird, A = 0; die Reihe wird: 
sin ß = Bß + Cß* + Dß 3 + Eß i + .... 
und ist der Entwickelung fähig. 
Diese allgemeine Reihe läfst sich aber 
noch weiter vereinfachen; denn setzt man 
— ß für ß, so entsteht 
sin (-ß)=-Bß + Cß*-Dß 3 +Eß i +Fß 3 +.... 
Liegt aber + ß im ersten, im zweiten, 
im dritten, im vierten Quadrant, so liegt 
- ß im vierten, im dritten, im zweiten, 
im ersten Quadrant, die sinus von +ß 
und — ß sind mit entgegengesetzten Vor 
zeichen einander gleich; wenn also 
sin (+/3) = ± Bß ± Cß 2 ±Dß 3 1 Eß*±Fß 5 -t.... 
so mufs sein 
sin(-ß)= + Bß+ Cß 2 T Dß 3 *Eß*^Fß 3 F .... 
Folglich ist es unmöglich, dafs die Reihe 
für sin ß Glieder mit a in geraden Ex 
ponenten haben kann, und die allgemeine 
Form der Reihe ist 
sin ß-Aß+Bß 3 +Cß 5 -hDß 7 +Eß 9 + III. 
Substituirt man diese Reihe in die 
Reihe II und reducirt auf 0, so hat man 
0 = 
(sin ß) 
/ sin 3 ß\ 
V 2.3 y 
/3 sin 5 ;3\ 
, v 2 • 4 • 5 / 
/3 • 5 sin 7 ß\ 
\2 • 4 • 6 • 7/ 
/3-5 -7 -sin 9 /S\ 
\2 • 4* 6 • 8 -T/ 
~ß 
+ Aß + B . 
A 3 
+ 
2-3 
ß 3 + Cß 3 +Dß 7 +Eß* 
,3 , 3^ 3 {AB*+A'C) M B 3 + 6ABC + 3A*D 
ß + T-Y ß + 2 . 3 ß + ~~ 2“T“3 ß 
3^ 3.5 A*B 3(104 3 ß 2 + 5A*C) 
■ ßO _| _______ ßi ^ ______ ß'f 
+ 
2-4-5 
+ 
5 A 7 
2-4.6.7 
=- ß 7 + 
5-7 . A*B 
+ 
7 
A 9 
4 . 6 • 8 • 9 
Setzt man jede Summe der untereinander stehenden zu einerlei Potenz von ß 
gehörenden Coefficienten = 0, so erhält man 
A-l =0 
A 3 
2T3 + B =0 
3 A 5 , 3A 2 ß , ■ 
2T4T5 + 2^F + ° ~ 0 
3-5 A 7 , 3 • 5^ 4 R , 3(AB 2 -\-A 2 C) n 
+ ——— + —^ — + D = 0 
2 • 4 
3 
2.4 • 6 • 7 
3.5.7 z! 9 3«5.7 4 6 ß 3(10zl 3 ß 2 + 5zl 4 C) B 3 + 6ABC+3A*D 
2-4.6" 8 • 9 + 2 • 4 • 6 • 7 + 2 • 4 • 5 2 *3 + K - 0 
woraus aus der ersten Gleichung 
A = 1 
Diesen Werth in die zweite Gl. gesetzt, 
gibt 
2.3 (3) 
Die Werthe von A und B in die dritte 
Gl. gesetzt, u. s. f. ergibt 
C=-f 1 = + - 
2.3 • 4 • 5 ' (5) 
D — - 
E = + 
2•3.4•5 • 6 • 7 
1 
(7) 
;= + 
1 
2-3.4.5.6-7-8-9 ' (9) 
u. s. w. 
Man hat also, diese Werthe in Gl. III. 
substituirt 
ß 3 ß 5 ß 7 ß 9 
Sl"ß -ß - ( -gj + (5) ~ (7 j + (9) - - • • • • 
Eine Gleichung, die für jeden beliebi-