Cotesiseher Lehrsatz. 
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Cotesiseher Lehrsatz. 
Die einzelnen Coefücienten = 0 gesetzt 
und entwickelt 
A= 1 
1 
45 
2 
3(7)“ 945“ 
3 • 2 7 1 
5(9) “ 4725 
5 • 2 9 _ 2 
3(11)“ ~ 93555 
u. s. w. 
Somit ist 
cot tt — ■ 
1 3 2 1 | 2 
45 945 4725 93555 
Vergleiche Cosecante No. 12, Cosinus 
No. 16, Cosinus versus No. 4. 
Cotesiseher Lehrsatz (Cotes, ein eng 
lischer Mathematiker zur Zeit Newtons). 
Wenn man auf dem Durchmesser AH 
eines Kreises aufserhalb des Mittelpunkts 
C einen Punkt P annimmt, jeden Halb 
kreisumfang in n, also den ganzen Kreis- 
Fig. 517. 
umfang in 2n gleiche Theile theilt, und 
von P aus nach den Theilpunkten ge 
rade Linien zieht, so ist, wenn der Halb 
messer CH — r, der Abstand CP—a ge 
setzt wird, 
1. r« — a' 1 = PA X PD X PFx PH X.... PM 
2. r"+a» = PBxPEx PGx PJx.... PiV 
In 1 ist der erste Factor der Abstand 
r — a, in 2 ist er die nächst folgende 
Theillinie, der letzte Factor in beiden ist 
die letzte Theillinie, so dafs n Factoren 
entstehen. Der Punkt P kann auch aufser 
halb des Kreises in der Yerlängerung von 
HA liegen, wo dann aber a' 1 — r u statt 
r n _ a'i gesetzt wird. 
Zieht man nämlich von irgend einem 
der Theilpunkte, z. B. von D, den Halb 
messer DC, so hat man 
PD 2 = CP- + CD* T 2CPx CD cos I)CP 
oder 
PU- = a 2 + r 2 -v- 2ar cos DCP 
wo das obere Vorzeichen für Z.DCP von 
0 bis 90° und von 270° bis 360°, das 
untere von 90° bis 270° gilt, indem hier 
die cos negativ sind und woher das po 
sitive Zeichen fortgelassen werden kann. 
Nun ist Bogen 
AB — BD = DE u. s. w. =---7i 
n 
folglich cos BCP= cos — n 
2 
cos DCP — cos — n 
n 
cos ECP— cos — n u. s. w. 
■ii 
Bezeichnet man nun die Theillinien von 
PA aus nach einander mit z; i,; ; z s 
u. s. w. so hat man 
z- — r- — 2 ar • cos 0 -f a 2 = (/• — a) 2 
z - — r 2 — 2 ar cos ■— 77 -f « 2 
n 
2 
j., 2 = r 2 — 2 ar cos — Ti -f a 2 
n 
j 2 — r 2 — 2 ar cos — 77 4- a 2 
n 
u. s. w. 
Die Bogen haben also alle die Form 
2m . 2m + 1 
-— 77 Und 71 
n n 
Die Quadrate mit den Bogen der ersten 
Form gehören zu dem ersten Satz für 
r'i — a", die der 2ten Form zu dem zwei 
ten Satz für rn-\-a‘ l 
Die Quadrate der Factoren von r n — a n 
im ersten Quadrant sind also: 
z 2 = (r — a) 2 
2 
z 2 = r 2 — 2 ar cos -— n -p a 2 
n 
4 
z. 2 — r 2 — 2 ar cos — 77 + a 2 
n 
die letzten Glieder sind, wenn n gerade ist: 
z 2 /t—a = r 2 — 2 ar cos —— 71 -f a 2 
n 
, n 2 , „ 
Z'-'/j—2 = r* — 2 ar cos —— 77 -f rr 
n 
z 211 = r 2 — 2 ar cos 77 + a 2 
= r 2 -f 2 ar -f a 2 = (r -f a) 2 = HP 2