Cubikwurzel. 
Cubikwurzel. 
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V 79=4,290940... 
64 
15000 
3 • 4 2 • 2 = 9600) 
3 • 5 • 2 2 = 480 
2 3 = 8) 
10088 
4912000 
3-42 3 .9 = 4762800) 
3•42• 9* = 102060 
9 3 = 729) 
4865589 
464lTÖÖÖci0O 
3-4290 2 - 8 = 44169840000) 
3•4290 • 8 2 = 8236800 
8 3 = 512) 
44178077312 
2232922688000 
3•42908 2 ■4 = 2209315756800 
3-42908-4 2 = 20595840 
4 3 = 64 
2209356352704 
23586335296 
u. s. w. 
Zum Versuch, ob die Wurzel 42 richtig 
ist hat man 
79000-4912 = 74088 als 42 3 . 
Die Probezahl 0 von 74088 stimmt mit 
der 6 von 42. 
Zum Versuch ob die Wurzel 429 rich 
tig ist, hat man 
79000000 - 46411 = 78953589 als 429 3 . 
Die Probezahl 0 des Cubus stimmt mit 
der Probezahl 6 von 429. 
Zum Versuch, ob die Wurzel 42908 
richtig ist, hat man 
79000000000000 
2232922688 
= 78997767077312 als 42908 3 . 
Die Probezahl 8 des Cubus stimmt mit 
der Probezahl 5 von 42908. 
Zum Versuch endlich, ob die Wurzel 
429084 richtig ist, hat man 
79000000000000000 
- 23586335296 
= 78999976413664704 als 429084 3 
Die Probezahl 0 des Cubus stimmt mit 
der Probezahl 0 von 429084 u. s. w. 
Wurzel 429 mit der von 79 — 46411, näm 
lich mit 16-16 = 0 des Cubus. 
Desgleichen die Probezahl 5 der Wur 
zel 42908 mit der von 79 — 2232922688 
nämlich mit 16 — 44 = — 28 = — 4-9 + 8 
oder mit 8 des Cubus. 
Endlich die Probezahl 0 der Wurzel 
429084 mit der von 79 - 23586335296, 
nämlich mit 16 —52= - 36 also mit +0 
des Cubus. 
4. Die Cubikwurzel aus o 3 ist = a; es 
hat aber die Gleichung a; 3 — a 3 = 0 als 
cubische Gleichung 3 Wurzeln (s. Bd. I, 
pag. 50, No. 13), und es mufs folglich 
3 
1/fl 3 aufser a noch 2 Werthe haben, so 
dafs wenn diese b und c sind: 
(x — a) (x — b) (x — c) = x 3 — n 3 
Man erhält also diese beidenWerthe wenn 
man x 3 — a 3 durch x — a dividirt nämlich 
— = x 3 + ax + a 3 = 0 
x—a 
woraus die Wurzeln nach Bd. I, pag. 49, 
No. 9: 
x = — (l ± ]/ — 3) 
Die 3 Kubikwurzeln von a 3 sind dem 
nach 
rt ;-;a(l+y-3);-4rt(l-l/“3) (1) 
Ist a 3 irrational z. B. von der Form 
b ± pc, so hat man natürlich die 3 Cu- 
bikwurzeln von a 3 
3 3 
j/6 ± pc; — 4- \ b ± pc (1 + ]/— 3); 
■3 
— A p 6 ± pc (l — p — 3) (2) 
Ist a 3 unmöglich, etwa von der Form 6 3 |/—1 
so ist die eine Wurzel offenbar — b p — 1 
denn (-6p— l) 2 ist=—6 2 und(— 6 2 )x(-6p— 1) 
=+ b 3 \ — 1 
und dividirt man x 3 — b 3 \j— 1 durch x-\-b]/ — 1 
so erhält man 
x 3 + xb p — 1 — i 2 = 0 
woraus x = \ b (p -1 ± p3) (3) 
die 3 Wurzeln aus 6 3 p —1 sind daher 
— 6p — 1; ^b (p — I + p3) ; >6(j/T^_j/3) 
Hat das unmögliche a 3 die Form 6±cp— 1 
3 . 
so ist die erste Wurzel = Vb ± c\/ - 1 
und die andern beiden sind 
-pV&±cp'-l • (l±]/~3) 
.. ... ... . Die 3 Cubikwurzeln von 5 ± cp —1 sind 
Aber auch diese Prufungsweise kann daher 
man sich noch erleichtern: 3 3 
Der Cubus von 42 ist = 79000 — 4912; 
man hat also nicht diese Differenz zu bil 
den, sondern nur die Differenz deren Zif 
fernsummen = 7 + 9 — (4+ 9 + 1+ 2) 
= 16 — 16 = 0 und die Probezahl 6 von 
42 stimmt mit der Probezahl 0 des Cubus. 
Ebenso stimmt die Probezahl 6 der 
±C]/-1; -4^i±cp-i (1 + p — 3); 
3 ^ 
_']/6±cp^l (l-p~3) (4) 
5. Die Cubikwurzel aus imaginären 
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Gröfsen von der Form ]/— a erregen bis 
weilen Bedenken und veranlassen Un-