Curven. 
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Curven. 
Eigenschaft, welche der einzigen Hyper 
bel angehört. Da ferner eine C. von der 
Gl. III. nur eine Parabel sein kann, die 
Gleichung II. aber entweder eine Ellipse 
oder einen Kreis liefert, so bestehen 
die Curve n erster Klasse nur in 
den 4 Kegelschnittslinien. 
15. Die Kegelschnittslinien sind in 
dem Art. Brennpunkte der Kegel 
schnitte pag. 420 mit Hülfe von Fig. 
257 durch ihre Gleichungen entwickelt, 
wenn die Coordinateli rechtwinklig sind, 
die Abscissenlinie die Axe ist und der 
Anfangspunkt der Abscissen im Scheitel 
punkt liegt. 
Fig. 532 zeigt Fig. 257 in den hier 
nothwendigen Umrissen : ABD ist der 
Axendurchschnitt eines Kegels, y (statt «) 
dessen Winkel an der Spitze, Fder Schei 
telpunkt sämmtlicher Kegelschnitte, so 
gelegen, dafs wenn AE = AF genommen 
wird die Länge EF = /; ist. 
„ . sin r¡ 
ir = h x ■ 
y 
¡ , (24) 
„„„2 y 
2 2 
(C) Für die Hyperbel 
sinrj ( sin{y—j]) 
,/ = k 
x + 
sin r¡ • ir 2 (25) 
y 2 Y 
cos A- cos- — 
Für die Parabel ist rj = y, für die El 
lipse rj > y, für die Hyperbel n <y. 
Für den Kreis fällt FJ in FE, es ist 
V — 90° + -~ 
und wenn man diesen Werth in die Glei 
chung 24 für die Ellipse setzt, so erhält 
man die Gleichung für den Kreis 
y 2 — hx — x 2 (26) 
Es ist demnach in den Gleichungen 
19, 20 und 21 
sin r\ 
A — k 
Y 
cos — 
(27) 
Fig. 532. 
r] (statt ß) bezeichnet allgemein den 
Winkel, den die Axe FJ jedes Kegel 
schnitts mit der Kegelseite AI) bildet, 
in welcher der Scheitelpunkt F liegt. 
Setzt man nun in den Formeln sub. A, 
B, C Bd. I. pag. 420 u. f. für u = y und 
für ß = r], so erhält man 
(A) Für die Parabel 
ß — 2k sin • x (23) 
(B) Für die Ellipse 
16. Sollen nun die Gleichungen 19 bis 
22 in ganz allgemeine wie I. Gl. 1 ver 
wandelt werden, so hat man Art. Coor- 
dinatengleichung mit Fig. 516 die Glei 
chungen 
I. y sin « + (5 + w) smß — z sin (ß -|- J) 
II. x — y cos n—z cos (,3-f (!) = a — (6 -f ii) cosß 
Es sollen also hiermit die mit x, y und 
o = 90° gegebenen Gl. 19 bis 22 auf an 
dere für m, z, 4 gewählte Gleichungen 
reducirt werden. 
Setzt man a = 90° und ändert die Con- 
stanten n und b in p und y um sie mit 
den Coefficienten « und b nicht zu ver 
wechseln, so hat man 
I. y + (<? + m) sin ß — z sin (ß 4- J) 
II. X — Z COS (/? -f- ß) = p — (g -f u) cos ß 
Nun hat man 
I. Für die Parabel 
y 2 = Ax 
Setzt man in diese Gl. die Werthe von 
y und x aus Gleichung I. und II., so erhält 
man: 
[s sin (ß + d) — {g + n) sin ßß = Ap + Az cos (ß + J) — A (g + u) cos ß 
II. Für die Hyperbel. 
y 2 = Ax -|- Bx 2 
wie vorher verfahren gibt 
[ssin (ß+J)-(g+u)sinßß-A [p+s cos(ßß-ii)-(g-\-u) cosß] -f B [p-\-z cos (ß+ß)~(g-\u)cosßß 
III. Für die Ellipse. 
y 2 = Ax — Bx 2 
lz sin(ß-\- ö)—(g-\-u)sinßß=A[]}-\-z cos(ßß-d) — (g-\-u) cosß]~B [pßz cos (ß-\-<S)-(g-\-u)cos ßß