Curvenlehre. 
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Curvenlehre. 
Fig. 537. 
Curve in noch einem Punkte zu schnei 
den, oder der gröfste aller der die Curve 
in diesem Punkt zu berühren mögli 
chen Kreise. Der Halbmesser dieses 
Kreises liegt in der Richtung der Nor 
male der Curve in dem Berührungs 
punkt und heilst der Krümmungs 
halbmesser. 
Die Bestimmung des Krümmungs 
kreises geschieht nun folgender Art. 
Es sei KBJ eine Curve; dieselbe sei 
durch eine rechtwinklige Coordinaten- 
gleichnng 1/ = <jx gegeben; es soll 
der Krümmungskreis an dem Punkt 
ß bestimmt werden. Ist nun A der 
Anfangspunkt der Abscissen, so ist 
AlJ = x die Abscisse, DB = y die Or 
dinate von B. Stellt BHL den Krüm- 
Subtangente CT 
Cot. CBT : 
0 
0 
(i) 
(2) 
Nun erhält man die Tangente BT aus 
BT= CTcbsec CBT= CT- j/l + col 2 CBT 
/ Bz 
oder 
0 
V 1 + 
Tangente BT = 
l‘ a +(gy 
0 
Aus der Proportion CT:CB = CB 
oder ■ z-z: CN 
0 
' o\ 
Die Subnormale CN = 
; §<*> 
da nnn BN — ]/ BC 2 + CAI 2 
so ist 
- (3) 
die N o r m a 1 e BN = J z 2 + (5) 
II. Bestimmung des Krümmungs 
kreises an Curven. 
Es ist ad I. gesagt, dafs jedes Curven- 
element als das Element einer Kreispe 
ripherie angesehen werden kann; der Kreis 
selbst, der diesem Elemente angehört 
heifst der Krümmungskreis oder 
Schmiegungskreis der Curve in dem 
Punkt. Ein Krümmungs- oder Schmie- 
gungskreis ist also ein Kreis, der mit 
der Curve nur ein Element gemein hat; 
er ist zugleich der gröfste der Kreise, 
die durch einen und denselben Punkt der 
Curve hindurch gehen können ohne die 
Fig. 538. 
tö—27 SW 
CN 
(4) 
mungskreis vor, so liegt dessen Mittel 
punkt C in der Normale BF oder in des 
sen Verlängerung. Bezeichnet man die 
Abscisse AE des Mittelpunkts C mit a, 
dessen Ordinate EC mit b, den Krüm 
mungshalbmesser BC mit r, so sind diese 
3 Parameter a, b, r des Krümmungskreises 
zu ermitteln. 
Die erste Bedingung ist offenbar, dafs 
der Punkt B der Curve sowohl als dem 
Kreise angehöre; hieraus entspringt die 
erste Bedingungsgleichung 
BC' 2 — BG 2 + CG 2 
oder r 2 = (»/ — b) 2 + (« — x) 2 (1) 
Die zweite Bedingung ist, dafs der Mit 
telpunkt in der Normale liege. Ist dem 
nach BT die Tangente an ß 
so ist /_ BTD = Z.CBG 
folglich DT: BD = BG: CG 
oder da 
DT als Subtangente = 
_ V 
(£) 
(I. Formel 1)